最大似然估计（MLE）与最大后验概率（MAP）在机器学习中的应用

2024-10-11 15:37:21

最大似然估计 MLE

给定一堆数据，假如我们知道它是从某一种分布中随机取出来的，可是我们并不知道这个分布具体的参，即“模型已定，参数未知”。

例如，对于线性回归，我们假定样本是服从正态分布，但是不知道均值和方差；或者对于逻辑回归，我们假定样本是服从二项分布，但是不知道均值，逻辑回归公式得到的是因变量y的概率P = g(x), x为自变量，通过逻辑函数得到一个概率值，y对应离散值为0或者1，Y服从二项分布，误差项服从二项分布，而非高斯分布，所以不能用最小二乘进行模型参数估计，可以用极大似然估计来进行参数估计；因此最大似然估计（MLE，Maximum Likelihood Estimation）就可以用来估计模型的参数。MLE的目标是找出一组参数，使得模型产生出观测数据的概率最大：

其中就是似然函数，表示在参数下出现观测数据的概率。我们假设每个观测数据是独立的，那么有

为了求导方便，一般对目标取log。所以最优化对似然函数等同于最优化对数似然函数：

举一个抛硬币的简单例子。现在有一个正反面不是很匀称的硬币，如果正面朝上记为H，方面朝上记为T，抛10次的结果如下：

求这个硬币正面朝上的概率有多大？

很显然这个概率是0.2。现在我们用MLE的思想去求解它。我们知道每次抛硬币都是一次二项分布，设正面朝上的概率是，那么似然函数为：

x=1表示正面朝上，x=0表示方面朝上。那么有：

求导：

令导数为0，很容易得到：

也就是0.2 。

最大后验概率 MAP

以上MLE求的是找出一组能够使似然函数最大的参数，即。现在问题稍微复杂一点点，假如这个参数有一个先验概率呢？比如说，在上面抛硬币的例子，假如我们的经验告诉我们，硬币一般都是匀称的，也就是=0.5的可能性最大，=0.2的可能性比较小，那么参数该怎么估计呢？这就是MAP要考虑的问题。 MAP优化的是一个后验概率，即给定了观测值后使概率最大：

把上式根据贝叶斯公式展开：

我们可以看出第一项就是似然函数，第二项就是参数的先验知识。取log之后就是：

回到刚才的抛硬币例子，假设参数有一个先验估计，它服从Beta分布，即：

而每次抛硬币任然服从二项分布：

那么，目标函数的导数为：

求导的第一项已经在上面MLE中给出了，第二项为：

令导数为0，求解为：

其中，表示正面朝上的次数。这里看以看出，MLE与MAP的不同之处在于，MAP的结果多了一些先验分布的参数。

补充知识： Beta分布

Beat分布是一种常见的先验分布，它形状由两个参数控制，定义域为[0,1]

Beta分布的最大值是x等于的时候：

所以在抛硬币中，如果先验知识是说硬币是匀称的，那么就让。但是很显然即使它们相等，它两的值也对最终结果很有影响。它两的值越大，表示偏离匀称的可能性越小：

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