luogu3807 【模板】 卢卡斯定理
2024-08-25 22:15:04
题目大意
对于一个很大的$n,m,p$如何求$C_{n+m}^m\mod p$?
Lucas定理
若$n_i,m_i$分别是$n,m$在$p$进制下第$i$位的数字,则有
$$C_n^m\mod p=\prod_{i=0}^{\log_p m}C_{n_i}^{m_i}\mod p$$
求法
按照定理式一个一个求组合数即可。
组合数并不用批量求。故预处理出各项阶乘值,然后运用
$$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$
,因为取模P,运用乘法逆元、快速乘工具求解即可。
注意事项
- MAX_N应当为n,m的范围*2,因为n+m。
- 求组合数时,若m>n,返回0。
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std; #define ll long long
#define inv(a) Inv(a, P)
#define mult(a, b) Mult(a, b, P) const int MAX_N = 200010;
ll Fact[MAX_N];
ll P; void GetFact(int n, ll* Fact, ll p)
{
Fact[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
Fact[i] = Fact[i - 1] % p * i % p;
} ll Exgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y)
{
if (b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
ll d = Exgcd(b, a%b, x, y);
ll tx = x;
x = y;
y = tx - a / b * y;
return d;
} ll Inv(ll a, ll p)
{
ll x, y;
Exgcd(a, p, x, y);
return (x % p + p) % p;
} ll Mult(ll a, ll b, ll p)
{
ll ans = 0;
while (b)
{
if (1 & b)
ans = (ans + a) % p;
a = (a + a) % p;
b >>= 1;
}
return ans;
} ll Comb(ll n, ll m)
{
if (m > n)
return 0;
return mult(Fact[n], inv(mult(Fact[m], Fact[n - m])));
} ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{
if (m == 0)
return 1;
return Comb(n % p, m % p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
} int main()
{
int caseCnt;
scanf("%d", &caseCnt);
while (caseCnt--)
{
ll n, m;
scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &P);
GetFact(n + m, Fact, P);
printf("%lld\n", Lucas(n + m, m, P));
}
return 0;
}
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