P4139 上帝与集合的正确用法

题目描述

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：

第一天，上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。

第二天，上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。

第三天，上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。

第四天，上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。

如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。

然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……

然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。

至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？

上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。

你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了\(10^9\)次元素，或\(10^{18}\)次，或者干脆∞次。

一句话题意：\(2^{2^{2^{\dots}}}\bmod p\)

输入输出格式

输入格式：

第一行一个整数\(T\)，表示数据个数。

接下来\(T\)行，每行一个正整数\(p\)，代表你需要取模的值

输出格式：

\(T\)行，每行一个正整数，为答案对\(p\)取模后的值

说明

对于100%的数据，\(T\le 1000,p \le 10^7\)

其实就是裸到扩展欧拉定理

先把\(\varphi(1-1e7)\)筛出来

然后递归进去求，直到某一项为0，再快速幂回来

复杂度大概是两个log的？

扩展欧拉定理

\[ a^b=
\begin{cases}
a^{b \ mod \ \varphi(p)},(a,p)=1 \\
a^b,(a,p)\not=1,b<\varphi(p) \\
a^{b \ mod \ \varphi(p)+\varphi(p)},(a,p)\not=1,b \ge \varphi(p)
\end{cases}
\ \ mod \ p
\]

Code:

#include <cstdio>

#define ll long long

const int N=1e7;

int phi[N+10],v[N+10],pri[N+10],is_pri[N+10],cnt;

void Euler()

{

    for(int i=2;i<=N;i++)

    {

        if(!is_pri[i])

        {

            v[i]=i;

            phi[i]=i-1;

            pri[++cnt]=i;

        }

        for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=N;j++)

        {

            if(pri[j]>v[i]) break;

            is_pri[pri[j]*i]=1;

            v[pri[j]*i]=pri[j];

            phi[pri[j]*i]=phi[i]*(i%pri[j]?pri[j]-1:pri[j]);

        }

    }

}

ll quickpow(ll d,ll k,ll p)

{

    ll f=1;

    while(k)

    {

        if(k&1) f=f*d%p;

        d=d*d%p;

        k>>=1;

    }

    return f;

}

ll dfs(int p)

{

    if(p==2) return 0;

    return quickpow(2,dfs(phi[p])%phi[p]+(p&1?0:phi[p]),p);

}

int main()

{

    Euler();

    ll t,p;

    scanf("%lld",&t);

    while(t--)

    {

        scanf("%lld",&p);

        printf("%lld\n",dfs(p));

    }

    return 0;

}

2018.9.7

巴特西

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