[CTSC2017]最长上升自序列(伪题解)(Dilworth's theorem+网络流)
部分分做法很多,但每想出来一个也就多5~10分。正解还不会,下面是各种部分分做法:
Subtask 1:k=1
LCS长度最长为1,也就是说不存在j>i和a[j]>a[i]同时成立。显然就是一个LDS,树状数组直接求即可。
Subtask 2:k=2
最多两个,也就是可以由两个LCS拼起来,f[i][j]表示第一个LCS以i结尾,第二个以j结尾的方案数,转移显然。
Subtask 3:k=2
树状数组优化DP,复杂度由$O(n^3)$降为$O(n^2 \log n)$
Subtask 4,5:B<=8
DP套DP:https://www.cnblogs.com/clnchanpin/p/7357564.html
一般与“子序列”同时出现,如最长上升自序列,最长公共自序列等。
Subtask 6,7:
一个显然的定理:一个序列的LCS最大为k意味着这个序列最少可以由k个不相交的LDS组成。
考虑网络流,下面(a,b)表示容量为a,费用为b的边。
拆点,in[x]向out[x]连(1,-1)的边,每次和下一个小于这个数的位置连(1,0)的边,增设源汇,最多增广k次即可。
$O(Kn^3)$
Subtask 8,9:
上面的方法点数为$n$,边数为$n^2$,启发我们用线段树优化建图。
这里用树状数组就行了。
点数$n\log n$,边数$n\log n$。
$O(K(n\log n)^2)$
Subtask 10,11,12:
Johnson多源最短路算法:
传统的Floyd是$O(n^3)$的,已经很优秀了。但是如果我们对每个点跑一次Dijkstra,可以得到$O(n^2\log m)$这个更好的复杂度。
但是Dijkstra不能跑有负权边的情况。
考虑增设超级源S并向每个点连长度为0的边,然后跑单源最短路,接着将每条边(u,v,w)改成(u,v,w+(dis[u]-dis[v])),其中dis[u]表示S到u的最短路。
这样跑Dijkstra就是正确的了,转移的时候记录pre方便最后求出最短路长度。
不了解如何运用到这道题上。
优化:可以直接用数组代替堆降低复杂度。
Subtask 13~20:
完全不理解的杨氏矩阵理论。
不断分析将复杂度依次降为:$O(n^2\log n+Q\log n)$,$O(n\sqrt{n}\log n)$,$O(n\sqrt{n\log n})$。
附:树状数组+网络流代码(15pts)
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
#define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
using namespace std; const int N=;
int x,y,fir[N],pre[N],a[N],b[N],inq[N],dis[N],n,m,cnt=;
int in[N],out[N],ans[N],BIT[N],S,T,cost,lim,obt,tot; struct edge{
int to,nxt,f,c;
edge () {}
edge (int x,int y,int z,int l){ to=y; nxt=fir[x]; f=z; c=l; fir[x]=cnt; }
}e[*N]; void add(int x,int y,int z,int l){ e[++cnt]=edge(x,y,z,l); e[++cnt]=edge(y,x,,-l); } bool spfa(){
int i,x; queue<int> q;
for(i=;i<=T;i++) dis[i]=;
dis[S]=; q.push(S);
while(!q.empty()){
x=q.front(); q.pop();
for(i=fir[x];i;i=e[i].nxt)
if(e[i].f&&dis[e[i].to]>dis[x]+e[i].c){
dis[e[i].to]=dis[x]+e[i].c; pre[e[i].to]=i;
if(!inq[e[i].to]) q.push(e[i].to),inq[e[i].to]=;
}
inq[x]=;
}
return dis[T]!=;
} int aug(){
int x,flow=1e9;
for(x=T;x!=S;x=e[pre[x]^].to) flow=min(flow,e[pre[x]].f);
for(x=T;x!=S;x=e[pre[x]^].to)
cost+=e[pre[x]].c*flow,e[pre[x]].f-=flow,e[pre[x]^].f+=flow;
return flow;
} int dinic(){ int res=; while(spfa()) res+=aug(); return res; } void modify(int p,int x){
for(;x<=obt;x+=x&-x){
tot++;
if(BIT[x]) add(tot,BIT[x],n,);
add(tot,p,,); BIT[x]=tot;
}
} void ask(int p,int x){ for (;x;x-=x&-x) if (BIT[x]) add(p,BIT[x],,); } int main(){
freopen("lis.in","r",stdin);
freopen("lis.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
if (n>) { rep(i,,m) printf("0\n"); return ; }
rep(i,,n) scanf("%d",&a[i]),b[i]=a[i];
sort(b+,b+n+); obt=unique(b+,b+n+)-b-;
rep(i,,n) a[i]=lower_bound(b+,b+obt+,a[i])-b;
rep(i,,n) in[i]=i,out[i]=i+n,add(in[i],out[i],,-);
tot=*n;
for (int i=n;i;i--) ask(out[i],a[i]),modify(in[i],a[i]);
S=tot+; T=S+;
rep(i,,n) add(S,in[i],,),add(out[i],T,,);
cost=lim=;
while(spfa()) aug(),ans[++lim]=-cost;
while(m--) scanf("%d%d",&x,&y),printf("%d\n",ans[min(y,lim)]);
return ;
}
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