诡异的数学,数字问题

那么这题包含两个问题：

1. 能否在环上绕一圈？

2. 如果能，这个起点在哪里？

第一个问题，很简单，我对diff数组做个加和就好了，leftGas = ∑diff[i]，如果最后leftGas是正值，那么肯定存在这么一个起始点。如果是负值，那说明，油的损耗大于油的供给，不可能有解。得到第一个问题的答案只需要O(n)。

对于第二个问题，起点在哪里？

假设，我们从环上取一个区间[i, j], j>i，然后对于这个区间的diff加和，定义

sum[i,j] = ∑diff[k] where i<=k<j

如果sum[i,j]小于0，那么这个起点肯定不会在[i,j]这个区间里，跟第一个问题的原理一样。举个例子，假设i是[0,n]的解，那么我们知道任意sum[k,i-1] (0<=k<i-1) 肯定是小于0的，否则解就应该是k。同理，sum[i,n]一定是大于0的，否则，解就不应该是i，而是i和n之间的某个点。所以第二题的答案，其实就是在0到n之间，找到第一个连续子序列（这个子序列的结尾必然是n）大于0的。

至此，两个问题都可以在一个循环中解决。

166. Fraction to Recurring Decimal

There are some remaining problems to solve to achieve a bug-free solution.

Pay attention to the sign of the result;
Handle cases that may cause overflow like numerator = -2147483648, denominator = -1 appropriately by using long long;
Handle all the cases of (1) no fractional part; (2) fractional part does not recur; and (3) fractional part recurs respectively.

整数，小数，循环小数。用map<long, long> map[remain] = result.size()来记录recurring的开始部分加左括号。

巴特西

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