[SCOI2006] 数字立方体
2024-10-11 19:26:34
题目类型:三维前缀和+同余方程
传送门:>Here<
题意:给出一个立方体,求有多少个子立方体的和为\(k\)的倍数
解题思路
暴力做法:\(O(n^6)\)枚举子立方体
考虑只枚举长和宽,为了简化问题,我们可以将问题表示成:
给定一个矩阵,求有多少个子矩阵的和为\(M\)的倍数
我们可以不必枚举宽,仅仅用\(O(n^2)\)枚举长,然后对于给定的行数,维护一个前缀和\(s[i]\)。于是一个子矩阵的和就可以表示为\(s[r]-s[l-1]\)。考虑一下何时这个子矩阵是\(M\)的倍数?用同余方程描述,就是$$s[r]-s[l-1]≡0 \ (mod \ M)$$也就是$$s[l-1]≡s[r] \ (mod \ M)$$于是我们只需要维护一个桶表示目前为止\(s[r]==i\)的个数就可以了
推广到立方体,改一下前缀和的计算公式就可以了
\(s[i][j][k] = s[i-1][j][k] + s[i][j-1][k] - s[i-1][j-1][k] + s[i][j][k-1] - s[i-1][j][k-1] - s[i][j-1][k-1] + s[i-1][j-1][k-1] + a[i][j][k]\)
反思
注意这道题问的是\(M\)的倍数,有关和,而且涉及倍数——一个前缀和,一个数论,就都可以解决了。
Code
注意循环变量的初始值。由于如果每次把桶清零非常耗时,一个优化是只清当前这轮涉及到的。当前这轮最多涉及到\(N\)个,因此非常快。
/*By DennyQi 2018*/
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <map>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 10010;
const int MAXM = 20010;
const int INF = 1061109567;
inline int Max(const int a, const int b){ return (a > b) ? a : b; }
inline int Min(const int a, const int b){ return (a < b) ? a : b; }
inline int read(){
int x = 0; int w = 1; register char c = getchar();
for(; c ^ '-' && (c < '0' || c > '9'); c = getchar());
if(c == '-') w = -1, c = getchar();
for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x<<3) + (x<<1) + c - '0'; return x * w;
}
ll Ans;
int N,M,K;
int a[45][45][45],s[45][45][45],sum[45],cnt[1000010];
int main(){
// freopen(".in","r",stdin);
N = read(), M = read();
for(int i = 1; i <= N; ++i){
for(int j = 1; j <= N; ++j){
for(int k = 1; k <= N; ++k){
a[i][j][k] = read();
s[i][j][k] = ((s[i-1][j][k] + s[i][j-1][k] - s[i-1][j-1][k] + s[i][j][k-1] - s[i-1][j][k-1] - s[i][j-1][k-1] + s[i-1][j-1][k-1] + a[i][j][k]) % M + M) % M;
}
}
}
for(int i = 1; i <= N; ++i){
for(int j = i; j <= N; ++j){
for(int p = 1; p <= N; ++p){
for(int q = p; q <= N; ++q){
cnt[0] = 1;
for(int k = 1; k <= N; ++k){
sum[k] = ((s[j][q][k]-s[i-1][q][k]-s[j][p-1][k]+s[i-1][p-1][k]) % M + M) % M;
Ans += 1ll * cnt[sum[k]];
cnt[sum[k]]++;
}
for(int k = 1; k <= N; ++k) cnt[sum[k]] = 0;
}
}
}
}
printf("%lld", Ans);
return 0;
}
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