Deflation Methods for Sparse PCA

背景
总括
Hotelling's deflation
- 公式
- 特点
Projection deflation
- 公式
- 特点
Schur complement deflation
Orthogonalized projection deflation
- 公式
Orthogonalized Hotelling's deflation
- 公式
- 特点

背景

有很多Sparse PCA 算法运用了收缩算法，但是呢，往往只考虑如何解决，每一次迭代的稀疏化问题，而忽略了收缩算法的选择。

总括

Hotelling's deflation

公式

\(A_t = A_{t-1}-x_tx_t^{\mathrm{T}}A_{t-1}x_tx_t^{\mathrm{T}}\)

特点

如果\(x_t\)是\(A_{t-1}\)的特征向量
那么
\(A_tx_t = (A_{t-1}-x_tx_t^{\mathrm{T}}A_{t-1}x_tx_t^{\mathrm{T}})x_t =0\)
所以，\(x_t\)依然是A_t的特征值为0所对应的特征向量。
但是，如果\(x_t\)不是特征向量,\(A_tx_t=0\)这个性质就不存在了，而且，\(A_t\)不一定是半正定矩阵。

Projection deflation

公式

\(A_t = (I-x_tx_t^{\mathrm{T}})A_{t-1}(I-x_tx_t^{\mathrm{T}})\)

特点

半正定

假设\(A_{t-1}\)是半正定的。那么，对于任意的\(x\)
\(x^{\mathrm{T}}A_tx = [x^{\mathrm{T}}(I-x_tx_t^{\mathrm{T}})]A_{t-1}[(I-x_tx_t^{\mathrm{T}})x]\geq0\)

另外\(A_tx_t=0\)
\(A_tx_t=(I-x_tx_t^{\mathrm{T}})A_{t-1}(I-x_tx_t^{\mathrm{T}})x_t=0\)

不过，\(A_sx_t \quad s>t\)的值往往不是0

Schur complement deflation

Orthogonalized projection deflation

公式

\(A_t = (I-\mathcal{P}^{(t)})A(I-\mathcal{P}^{(t)})\)
\(\mathcal{P}^{(t)}\)是投影矩阵，满足：
\(\mathcal{P}^{(t)\mathrm{T}}\mathcal{P}^{(t)}=\mathcal{P}^{(t)}\)
\(\mathcal{P}^{(t)}\mathcal{P}^{(t)}=\mathcal{P}^{(t)}\)
若
\(X=[x_1,x_2,\ldots,x_t]=QR\)
则：
\(\mathcal{P}^{(t)}=Q_{1...t}Q_{1...t}^{\mathrm{T}}\)（假设X的秩为t）
其中\(Q_{1...t}\)为\(Q\)的前t列。

Orthogonalized Hotelling's deflation

公式

\(A_t = A_{t-1} - q_tq_t^{\mathrm{T}}A_{t-1}q_tq_t^{\mathrm{T}}\)
\(q_t=\frac{(I-\mathcal{P}^{(t-1)})x_t}{\|(I-\mathcal{P}^{(t-1)})x_t\|}\)

特点

XXX

巴特西