洛谷 P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB(莫比乌斯反演)
题意:求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)$。
开始开心(自闭)化简:
$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)$
=$\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{ij}{d}[gcd(i,j)==d]$
=$\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor}ijd[gcd(i,j)==1]$
=$\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}\mu(i)i^2S({\lfloor \frac{n}{id}\rfloor})S({\lfloor \frac{m}{id}\rfloor}),S(n)=(n+1)*n/2$
=$\sum_{T=1}^{n}S({\lfloor \frac{n}{T}\rfloor})S({\lfloor \frac{m}{T}\rfloor})\sum_{d|T}d(\frac{T}{d})^2\mu(\frac{T}{d})$
=$\sum_{T=1}^{n}S({\lfloor \frac{n}{T}\rfloor})S({\lfloor \frac{m}{T}\rfloor})T\sum_{d|T}(\frac{T}{d})\mu(\frac{T}{d})$
令$F(T)=T\sum_{d|T}(\frac{T}{d})\mu(\frac{T}{d})$
只需要预处理F的前缀和,前面整除分块问题就解决了。
$F(1)=1,F(p^c)=\mu(1)*1+\mu(p)*p=1-p$
可以知道F是一个积性函数,对T进行质因数分解,即可求得F(T),可以在筛质数的时候进行求解,具体看代码。
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e7+;
const int MD=;
bool p[N];
int pri[N],f[N],tot;
void init() {
f[]=;
for(int i=;i<N;i++) {
if(!p[i]) pri[tot++]=i,f[i]=-i+MD;
for(int j=;j<tot&&i*pri[j]<N;j++) {
p[i*pri[j]]=true;
if(i%pri[j]==) {
f[i*pri[j]]=f[i];
break;
}
else f[i*pri[j]]=1LL*f[i]*f[pri[j]]%MD;
}
}
for(int i=;i<N;i++) f[i]=1LL*f[i]*i%MD;
for(int i=;i<N;i++) f[i]=(f[i]+f[i-])%MD;
}
int cal(int x) {
return 1LL*x*(x+)/%MD;
}
int main() {
init();
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
if(n>m) swap(n,m);
int ans=;
for(int l=,r;l<=n;l=r+) {
r=min(n/(n/l),m/(m/l));
ans=(ans+1LL*(f[r]-f[l-]+MD)*cal(n/l)%MD*cal(m/l)%MD)%MD;
}
printf("%d\n",ans);
return ;
}
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