一、为什么有CART回归树

　　以前学过全局回归，顾名思义，就是指全部数据符合某种曲线。比如线性回归，多项式拟合（泰勒）等等。可是这些数学规律多强，硬硬地将全部数据逼近一些特殊的曲线。生活中的数据可是千变万化。那么，局部回归是一种合理地选择。在斯坦福大学NG的公开课中，他也提到局部回归的好处。其中，CART回归树就是局部回归的一种。

二、CART回归树的算法流程

　　注意到，（1）中两步优化，即选择最优切分变量和切分点。（i）如果给定x的切分点。那么可以马上求得中括号内的最优。（ii）对于切分点怎么确定，这里是用遍历的方法。

三、CART分类树

　　实际上，CART分类树的生成树和ID3方法类似，只是这里用基尼指数代替了信息增益，定义

四、CART剪枝算法流程

例子参考：http://www.cnblogs.com/zhangchaoyang/articles/2709922.html

比如：

当分类回归树划分得太细时，会对噪声数据产生过拟合作用。因此我们要通过剪枝来解决。剪枝又分为前剪枝和后剪枝：前剪枝是指在构造树的过程中就知道哪些节点可以剪掉，于是干脆不对这些节点进行分裂，在N皇后问题和背包问题中用的都是前剪枝，上面的χ2方法也可以认为是一种前剪枝；后剪枝是指构造出完整的决策树之后再来考查哪些子树可以剪掉。

在分类回归树中可以使用的后剪枝方法有多种，比如：代价复杂性剪枝、最小误差剪枝、悲观误差剪枝等等。这里我们只介绍代价复杂性剪枝法。

对于分类回归树中的每一个非叶子节点计算它的表面误差率增益值α。

是子树中包含的叶子节点个数;

是节点t的误差代价，如果该节点被剪枝;

r(t)是节点t的误差率;

p(t)是节点t上的数据占所有数据的比例。

是子树Tt的误差代价，如果该节点不被剪枝。它等于子树Tt上所有叶子节点的误差代价之和。

比如有个非叶子节点t4如图所示：

已知所有的数据总共有60条，则节点t4的节点误差代价为：

子树误差代价为：

以t4为根节点的子树上叶子节点有3个，最终：

找到α值最小的非叶子节点，令其左右孩子为NULL。当多个非叶子节点的α值同时达到最小时，取最大的进行剪枝。

#include<iostream>

#include<fstream>

#include<sstream>

#include<string>

#include<map>

#include<list>

#include<set>

#include<queue>

#include<utility>

#include<vector>

#include<cmath>

using namespace std;

//置信水平取0.95时的卡方表

const double CHI[]={0.004,0.103,0.352,0.711,1.145,1.635,2.167,2.733,3.325,3.94,4.575,5.226,5.892,6.571,7.261,7.962};

/*根据多维数组计算卡方值*/

template<typename Comparable>

double cal_chi(Comparable **arr,int row,int col){

    vector<Comparable> rowsum(row);

    vector<Comparable> colsum(col);

    Comparable totalsum=static_cast<Comparable>();

    //cout<<"observation"<<endl;

    for(int i=;i<row;++i){

        for(int j=;j<col;++j){

            //cout<<arr[i][j]<<"\t";

            totalsum+=arr[i][j];

            rowsum[i]+=arr[i][j];

            colsum[j]+=arr[i][j];

        }

        //cout<<endl;

    }

    double rect=0.0;

    //cout<<"exception"<<endl;

    for(int i=;i<row;++i){

        for(int j=;j<col;++j){

            double excep=1.0*rowsum[i]*colsum[j]/totalsum;

            //cout<<excep<<"\t";

            if(excep!=)

                rect+=pow(arr[i][j]-excep,2.0)/excep;

        }

        //cout<<endl;

    }

    return rect;

}

class MyTriple{

public:

    double first;

    int second;

    int third;

    MyTriple(){

        first=0.0;

        second=;

        third=;

    }

    MyTriple(double f,int s,int t):first(f),second(s),third(t){}

    bool operator< (const MyTriple &obj) const{

        int cmp=this->first-obj.first;

        if(cmp>)

            return false;

        else if(cmp<)

            return true;

        else{

            cmp=obj.second-this->second;

            if(cmp<)

                return true;

            else

                return false;

        }

    }

};

typedef map<string,int> MAP_REST_COUNT;

typedef map<string,MAP_REST_COUNT> MAP_ATTR_REST;

typedef vector<MAP_ATTR_REST> VEC_STATI;

const int ATTR_NUM=;       //自变量的维度

vector<string> X(ATTR_NUM);

int rest_number;        //因变量的种类数，即类别数

vector<pair<string,int> > classes;      //把类别、对应的记录数存放在一个数组中

int total_record_number;        //总的记录数

vector<vector<string> > inputData;      //原始输入数据

class node{

public:

    node* parent;       //父节点

    node* leftchild;        //左孩子节点

    node* rightchild;       //右孩子节点

    string cond;        //分枝条件

    string decision;        //在该节点上作出的类别判定

    double precision;       //判定的正确率

    int record_number;      //该节点上涵盖的记录个数

    int size;       //子树包含的叶子节点的数目

    int index;      //层次遍历树，给节点标上序号

    double alpha;   //表面误差率的增加量

    node(){

        parent=NULL;

        leftchild=NULL;

        rightchild=NULL;

        precision=0.0;

        record_number=;

        size=;

        index=;

        alpha=1.0;

    }

    node(node* p){

        parent=p;

        leftchild=NULL;

        rightchild=NULL;

        precision=0.0;

        record_number=;

        size=;

        index=;

        alpha=1.0;

    }

    node(node* p,string c,string d):cond(c),decision(d){

        parent=p;

        leftchild=NULL;

        rightchild=NULL;

        precision=0.0;

        record_number=;

        size=;

        index=;

        alpha=1.0;

    }

    void printInfo(){

        cout<<"index:"<<index<<"\tdecisoin:"<<decision<<"\tprecision:"<<precision<<"\tcondition:"<<cond<<"\tsize:"<<size;

        if(parent!=NULL)

            cout<<"\tparent index:"<<parent->index;

        if(leftchild!=NULL)

            cout<<"\tleftchild:"<<leftchild->index<<"\trightchild："<<rightchild->index;

        cout<<endl;

    }

    void printTree(){

        printInfo();

        if(leftchild!=NULL)

            leftchild->printTree();

        if(rightchild!=NULL)

            rightchild->printTree();

    }

};

int readInput(string filename){

    ifstream ifs(filename.c_str());

    if(!ifs){

        cerr<<"open inputfile failed!"<<endl;

        return -;

    }

    map<string,int> catg;

    string line;

    getline(ifs,line);

    string item;

    istringstream strstm(line);

    strstm>>item;

    for(int i=;i<X.size();++i){

        strstm>>item;

        X[i]=item;

    }

    while(getline(ifs,line)){

        vector<string> conts(ATTR_NUM+);

        istringstream strstm(line);

        //strstm.str(line);

        for(int i=;i<conts.size();++i){

            strstm>>item;

            conts[i]=item;

            if(i==conts.size()-)

                catg[item]++;

        }

        inputData.push_back(conts);

    }

    total_record_number=inputData.size();

    ifs.close();

    map<string,int>::const_iterator itr=catg.begin();

    while(itr!=catg.end()){

        classes.push_back(make_pair(itr->first,itr->second));

        itr++;

    }

    rest_number=classes.size();

    return ;

}

/*根据inputData作出一个统计stati*/

void statistic(vector<vector<string> > &inputData,VEC_STATI &stati){

    for(int i=;i<ATTR_NUM+;++i){

        MAP_ATTR_REST attr_rest;

        for(int j=;j<inputData.size();++j){

            string attr_value=inputData[j][i];

            string rest=inputData[j][ATTR_NUM+];

            MAP_ATTR_REST::iterator itr=attr_rest.find(attr_value);

            if(itr==attr_rest.end()){

                MAP_REST_COUNT rest_count;

                rest_count[rest]=;

                attr_rest[attr_value]=rest_count;

            }

            else{

                MAP_REST_COUNT::iterator iter=(itr->second).find(rest);

                if(iter==(itr->second).end()){

                    (itr->second).insert(make_pair(rest,));

                }

                else{

                    iter->second+=;

                }

            }

        }

        stati.push_back(attr_rest);

    }

}

/*依据某条件作出分枝时，inputData被分成两部分*/

void splitInput(vector<vector<string> > &inputData,int fitIndex,string cond,vector<vector<string> > &LinputData,vector<vector<string> > &RinputData){

    for(int i=;i<inputData.size();++i){

        if(inputData[i][fitIndex+]==cond)

            LinputData.push_back(inputData[i]);

        else

            RinputData.push_back(inputData[i]);

    }

}

void printStati(VEC_STATI &stati){

    for(int i=;i<stati.size();i++){

        MAP_ATTR_REST::const_iterator itr=stati[i].begin();

        while(itr!=stati[i].end()){

            cout<<itr->first;

            MAP_REST_COUNT::const_iterator iter=(itr->second).begin();

            while(iter!=(itr->second).end()){

                cout<<"\t"<<iter->first<<"\t"<<iter->second;

                iter++;

            }

            itr++;

            cout<<endl;

        }

        cout<<endl;

    }

}

void split(node *root,vector<vector<string> > &inputData,vector<pair<string,int> > classes){

    //root->printInfo();

    root->record_number=inputData.size();

    VEC_STATI stati;

    statistic(inputData,stati);

    //printStati(stati);

    //for(int i=0;i<rest_number;i++)

    //  cout<<classes[i].first<<"\t"<<classes[i].second<<"\t";

    //cout<<endl;

    /*找到最大化GINI指标的划分*/

    double minGain=1.0;     //最小的GINI增益

    int fitIndex=-;

    string fitCond;

    vector<pair<string,int> > fitleftclasses;

    vector<pair<string,int> > fitrightclasses;

    int fitleftnumber;

    int fitrightnumber;

    for(int i=;i<stati.size();++i){     //扫描每一个自变量

        MAP_ATTR_REST::const_iterator itr=stati[i].begin();

        while(itr!=stati[i].end()){         //扫描自变量上的每一个取值

            string condition=itr->first;     //判定的条件，即到达左孩子的条件

            //cout<<"cond 为"<<X[i]+condition<<"时：";

            vector<pair<string,int> > leftclasses(classes);     //左孩子节点上类别、及对应的数目

            vector<pair<string,int> > rightclasses(classes);    //右孩子节点上类别、及对应的数目

            int leftnumber=;       //左孩子节点上包含的类别数目

            int rightnumber=;      //右孩子节点上包含的类别数目

            for(int j=;j<leftclasses.size();++j){       //更新类别对应的数目

                string rest=leftclasses[j].first;

                MAP_REST_COUNT::const_iterator iter2;

                iter2=(itr->second).find(rest);

                if(iter2==(itr->second).end()){      //没找到

                    leftclasses[j].second=;

                    rightnumber+=rightclasses[j].second;

                }

                else{       //找到

                    leftclasses[j].second=iter2->second;

                    leftnumber+=leftclasses[j].second;

                    rightclasses[j].second-=(iter2->second);

                    rightnumber+=rightclasses[j].second;

                }

            }

            /**if(leftnumber==0 || rightnumber==0){

                cout<<"左右有一边为空"<<endl;

                for(int k=0;k<rest_number;k++)

                    cout<<leftclasses[k].first<<"\t"<<leftclasses[k].second<<"\t";

                cout<<endl;

                for(int k=0;k<rest_number;k++)

                    cout<<rightclasses[k].first<<"\t"<<rightclasses[k].second<<"\t";

                cout<<endl;

            }**/

            double gain1=1.0;           //计算GINI增益

            double gain2=1.0;

            if(leftnumber==)

                gain1=0.0;

            else

                for(int j=;j<leftclasses.size();++j)

                    gain1-=pow(1.0*leftclasses[j].second/leftnumber,2.0);

            if(rightnumber==)

                gain2=0.0;

            else

                for(int j=;j<rightclasses.size();++j)

                    gain2-=pow(1.0*rightclasses[j].second/rightnumber,2.0);

            double gain=1.0*leftnumber/(leftnumber+rightnumber)*gain1+1.0*rightnumber/(leftnumber+rightnumber)*gain2;

            //cout<<"GINI增益："<<gain<<endl;

            if(gain<minGain){

                //cout<<"GINI增益："<<gain<<"\t"<<i<<"\t"<<condition<<endl;

                fitIndex=i;

                fitCond=condition;

                fitleftclasses=leftclasses;

                fitrightclasses=rightclasses;

                fitleftnumber=leftnumber;

                fitrightnumber=rightnumber;

                minGain=gain;

            }

            itr++;

        }

    }

    /*计算卡方值，看有没有必要进行分裂*/

    //cout<<"按"<<X[fitIndex]+fitCond<<"划分，计算卡方"<<endl;

    int **arr=new int*[];

    for(int i=;i<;i++)

        arr[i]=new int[rest_number];

    for(int i=;i<rest_number;i++){

        arr[][i]=fitleftclasses[i].second;

        arr[][i]=fitrightclasses[i].second;

    }

    double chi=cal_chi(arr,,rest_number);

    //cout<<"chi="<<chi<<" CHI="<<CHI[rest_number-2]<<endl;

    if(chi<CHI[rest_number-]){      //独立，没必要再分裂了

        delete []arr[];    delete []arr[];    delete []arr;

        return;             //不需要分裂函数就返回

    }

    delete []arr[];    delete []arr[];    delete []arr;

    /*分裂*/

    root->cond=X[fitIndex]+"="+fitCond;      //root的分枝条件

    //cout<<"分类条件:"<<root->cond<<endl;

    node *travel=root;      //root及其祖先节点的size都要加1

    while(travel!=NULL){

        (travel->size)++;

        travel=travel->parent;

    }

    node *LChild=new node(root);        //创建左右孩子

    node *RChild=new node(root);

    root->leftchild=LChild;

    root->rightchild=RChild;

    int maxLcount=;

    int maxRcount=;

    string Ldicision,Rdicision;

    for(int i=;i<rest_number;++i){      //统计哪种类别出现的最多，从而作出类别判定

        if(fitleftclasses[i].second>maxLcount){

            maxLcount=fitleftclasses[i].second;

            Ldicision=fitleftclasses[i].first;

        }

        if(fitrightclasses[i].second>maxRcount){

            maxRcount=fitrightclasses[i].second;

            Rdicision=fitrightclasses[i].first;

        }

    }

    LChild->decision=Ldicision;

    RChild->decision=Rdicision;

    LChild->precision=1.0*maxLcount/fitleftnumber;

    RChild->precision=1.0*maxRcount/fitrightnumber;

    /*递归对左右孩子进行分裂*/

    vector<vector<string> > LinputData,RinputData;

    splitInput(inputData,fitIndex,fitCond,LinputData,RinputData);

    //cout<<"左边inputData行数:"<<LinputData.size()<<endl;

    //cout<<"右边inputData行数:"<<RinputData.size()<<endl;

    split(LChild,LinputData,fitleftclasses);

    split(RChild,RinputData,fitrightclasses);

}

/*计算子树的误差代价*/

double calR2(node *root){

    if(root->leftchild==NULL)

        return (-root->precision)*root->record_number/total_record_number;

    else

        return calR2(root->leftchild)+calR2(root->rightchild);

}

/*层次遍历树，给节点标上序号。同时计算alpha*/

void index(node *root,priority_queue<MyTriple> &pq){

    int i=;

    queue<node*> que;

    que.push(root);

    while(!que.empty()){

        node* n=que.front();

        que.pop();

        n->index=i++;

        if(n->leftchild!=NULL){

            que.push(n->leftchild);

            que.push(n->rightchild);

            //计算表面误差率的增量

            double r1=(-n->precision)*n->record_number/total_record_number;      //节点的误差代价

            double r2=calR2(n);

            n->alpha=(r1-r2)/(n->size-);

            pq.push(MyTriple(n->alpha,n->size,n->index));

        }

    }

}

/*剪枝*/

void prune(node *root,priority_queue<MyTriple> &pq){

    MyTriple triple=pq.top();

    int i=triple.third;

    queue<node*> que;

    que.push(root);

    while(!que.empty()){

        node* n=que.front();

        que.pop();

        if(n->index==i){

            cout<<"将要剪掉"<<i<<"的左右子树"<<endl;

            n->leftchild=NULL;

            n->rightchild=NULL;

            int s=n->size-;

            node *trav=n;

            while(trav!=NULL){

                trav->size-=s;

                trav=trav->parent;

            }

            break;

        }

        else if(n->leftchild!=NULL){

            que.push(n->leftchild);

            que.push(n->rightchild);

        }

    }

}

void test(string filename,node *root){

    ifstream ifs(filename.c_str());

    if(!ifs){

        cerr<<"open inputfile failed!"<<endl;

        return;

    }

    string line;

    getline(ifs,line);

    string item;

    istringstream strstm(line);     //跳过第一行

    map<string,string> independent;       //自变量，即分类的依据

    while(getline(ifs,line)){

        istringstream strstm(line);

        //strstm.str(line);

        strstm>>item;

        cout<<item<<"\t";

        for(int i=;i<ATTR_NUM;++i){

            strstm>>item;

            independent[X[i]]=item;

        }

        node *trav=root;

        while(trav!=NULL){

            if(trav->leftchild==NULL){

                cout<<(trav->decision)<<"\t置信度:"<<(trav->precision)<<endl;;

                break;

            }

            string cond=trav->cond;

            string::size_type pos=cond.find("=");

            string pre=cond.substr(,pos);

            string post=cond.substr(pos+);

            if(independent[pre]==post)

                trav=trav->leftchild;

            else

                trav=trav->rightchild;

        }

    }

    ifs.close();

}

int main(){

    string inputFile="animal";

    readInput(inputFile);

    VEC_STATI stati;        //最原始的统计

    statistic(inputData,stati);

//  for(int i=0;i<classes.size();++i)

//      cout<<classes[i].first<<"\t"<<classes[i].second<<"\t";

//  cout<<endl;

    node *root=new node();

    split(root,inputData,classes);      //分裂根节点

    priority_queue<MyTriple> pq;

    index(root,pq);

    root->printTree();

    cout<<"剪枝前使用该决策树最多进行"<<root->size-<<"次条件判断"<<endl;

    /**

    //检验一个是不是表面误差增量最小的被剪掉了

    while(!pq.empty()){

        MyTriple triple=pq.top();

        pq.pop();

        cout<<triple.first<<"\t"<<triple.second<<"\t"<<triple.third<<endl;

    }

    **/

    test(inputFile,root);

    prune(root,pq);

    cout<<"剪枝后使用该决策树最多进行"<<root->size-<<"次条件判断"<<endl;

    test(inputFile,root);

    return ;

}

参考文献：

http://blog.csdn.net/google19890102/article/details/32329823

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