LG2375/LOJ2246 「NOI2014」动物园 KMP改造

问题描述

题解

看了题解，需要回看，需要继续通过本题深入理解KMP。

为了将 \(\mathrm{KMP}\) 和只插入了一个模式串的\(\mathrm{AC}\)自动机有机统一，称通常意义下的 \(\mathrm{KMP}\) 的 \(\mathrm{next}\) 数组为 \(\mathrm{fail}\) 。

通过对 \(\mathrm{num}\) 数组的观察，发现， \(\mathrm{num}\) 数组就是对于每一个前缀，求其公共不重叠前后缀的个数。

由于只有一个串，通过 \(L \le 10^6\) 的线性复杂度的数据规模，可以猜出肯定和 \(\mathrm{KMP}\) 有关。

回顾 \(\mathrm{KMP}\) 中 \(\mathrm{fail}\) 数组的定义，是对于每一个前缀，其 最长公共前后缀的长度 。

对于一个前缀 \(i\) ，\(fail[i]\) 是它的一个公共前后缀，那么 \(fail[fail[i]]\) 也是它的公共前后缀。

可以画图来理解一下：

同理， \(fail[fail[fail[i]]]\) ... 都是前缀 \(i\) 的公共前后缀。

于是通过这个办法递推一下前缀 \(i\) 的公共前后缀数目（允许重叠），这实际上就是 \(\mathrm{num}\) 数组的弱化版，即允许重叠的版本。

实际上，我们求出的这个弱化版数组，就是比实际上的 \(num\) 数组长了一点，所以做第二次 \(\mathrm{KMP}\) 的时候，只需要再让 \(j\) 跳 \(\mathrm{fail}\) ，直到它的一半比 \(i\) 小。

为什么是一半？显然 \(num_i \le \frac{i}{2}\) 。

\(\mathrm{Code}\)

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

template <typename Tp>

void read(Tp &x){

	x=0;char ch=1;int fh;

	while(ch!='-'&&(ch>'9'||ch<'0')) ch=getchar();

	if(ch=='-') ch=getchar(),fh=-1;

	else fh=1;

	while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();

	x*=fh;

}

const int maxn=1000000+7;

const int mod=1000000007;

int T,n;

char s[maxn];

int fail[maxn],num[maxn];

void Reset(){

	memset(fail,0,sizeof(fail));

}

void KMP(){

	num[1]=1;

	for(int i=2,j=0;i<=n;i++){

		while(j&&s[j+1]!=s[i]) j=fail[j];

		if(s[j+1]==s[i]) ++j;

		fail[i]=j;num[i]=num[j]+1;

	}

}

void solve(){

	KMP();

	long long ans=1;

	for(int i=2,j=0;i<=n;i++){

		while(j&&s[i]!=s[j+1]) j=fail[j];

		if(s[i]==s[j+1]) ++j;

		while((j<<1)>i) j=fail[j];

		ans=ans*(((long long)num[j]+1ll)%mod)%mod;

	}

	printf("%lld\n",ans);

}

int main(){

	read(T);

	while(T--){

		scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);

		solve();

	}

	return 0;

}

巴特西

LG2375/LOJ2246 「NOI2014」动物园 KMP改造

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题解

看了题解，需要回看，需要继续通过本题深入理解KMP。

\(\mathrm{Code}\)

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