NOIP2013 华容道

图论好题。介于网上全是些令蒟蒻头昏的题解和排版一塌糊涂以及过于详细的题解。。。蒟蒻记录一下。。

显然需要将白格移动到 \(s\) 相邻格，然后交换 \(s\) 与白格，再将白格移动到 \(s\) 相邻格，然后交换 \(s\) 与白格……最后一步将白格移动到与 \(s\) 相邻的 \(t\) ，交换白格与 \(s\)。

我们考虑到，将格子 \(a\) 从 \((i,j)\) 移动到相邻的格子 \(b\)，需要让白格先移动到 \(b\)，之后交换 \(a\) 与白格。显然 \(a\) 下一步还是要继续往其他方向移动的，所以白格仍然需要移动到格子 \(a\) 的某个相邻格。

我们写了一个 bfs ，可以在白格在 \((ei,ej)\), s \((si,sj)\) 的时候处理一些值，接下来详细阐述。

现在所阐述的 bfs 是在代码中 \(k=0,1,2,3\) 时的 bfs ，用于预处理建图。

设置状态 \((i,j,k)\) 表示格子 \(s\) 在 \((i,j)\) ，白格在 \((i,j)\) 的方向 \(k\) 处。( \(k\) : left right up down，用0,1,2,3表示)。

可以通过 bfs 计算出状态 \((i,j,k)\) 时，白格开始移动，移动到棋盘上任意一个格子 \((x,y)\) 的花费 \(dis_{x,y}\)。注意，在代码中，为了方便标记哪些是不可能移动到的点，将所有 \(dis_{x,y}\) 都加一了，但在题解中 \(dis_{x,y}\) 仍然是原先的值。

从状态 \((i,j,k)\) 转移到另一个状态，有两种情况。

白格与 \(s\) 交换，在状态 \((si,sj,k)\) 与 \((ei,ej,k\and 1)\) 之间连边 1。
白格移动到了一个与 \(s\) 相邻的位置 \((xx,yy)\) ，在状态 \((si,sj,k)\) 与状态 \((si,sj,i)\) 之间连边 \(dis_{xx,yy}\).

如果要计算状态 \((x1,y1,k1)\) 到状态 \((x2,y2,k2)\) 之间的最小花费，只需要跑最短路即可。

也就是说，我们把状态作为点，花费作为边建图。

现在阐述的是在代码中 \(k=4\) 时的 bfs，这是处理白格到初始格的相邻格花费的 bfs。

仍然先处理出所有的 \(dis_{x,y}\) , 意义与求法同 \(k=0,1,2,3\) 时一样。将与 \(s\) 相邻格的 \(dis_{x,y}\) 赋值在 dist 上。

最后计算答案，只需要 spfa 计算 \((tx,ty,0/1/2/3)\) 到 \((sx,sy,0/1/2/3)\) 的最短路。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=35,M=4010;

int n,m,q,mp[N][N],dis[N][N],dist[M];

bool vis[M];

int e,to[M*5],nxt[M*5],val[M*5],hd[M];

int dx[5]={-1,1,0,0};

int dy[5]={0,0,-1,1};

void add(int x,int y,int w){ to[++e]=y; nxt[e]=hd[x]; val[e]=w; hd[x]=e; }

void bfs(int ei,int ej,int si,int sj,int dir){

    memset(dis,0,sizeof(dis));

    queue<pair<int,int> >q;

    q.push(make_pair(ei,ej)); dis[ei][ej]=1;

    while(!q.empty()){

        pair<int,int>w=q.front(); q.pop();

        int x=w.first,y=w.second;

        for(int i=0;i<4;i++){

            int xx=x+dx[i],yy=y+dy[i];

            if(!mp[xx][yy]||dis[xx][yy]||xx==si&&yy==sj) continue;

            dis[xx][yy]=dis[x][y]+1; q.push(make_pair(xx,yy));

        }

    }//白格向外疯狂移动处理步数

    if(dir==4) return;

    for(int i=0;i<4;i++){

        int xx=si+dx[i],yy=sj+dy[i];

        if((xx==ei&&yy==ej)||!dis[xx][yy]) continue;

        add(si*30*4+sj*4+dir,si*30*4+sj*4+i,dis[xx][yy]-1);//白格移动

    }

    add(si*30*4+sj*4+dir,ei*30*4+ej*4+(dir^1),1);//交换

    return;

}

void spfa(int x,int y){

    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));

    memset(vis,0,sizeof(vis));

    queue<int>q;

    for(int i=0;i<4;i++){

        if(!dis[x+dx[i]][y+dy[i]]) continue;

        int id=x*30*4+y*4+i; q.push(id);

		dist[id]=dis[x+dx[i]][y+dy[i]]-1; vis[id]=1;

    }

    while(!q.empty()){

        int id=q.front(); q.pop(); vis[id]=0;

      //  cout<<id<<endl;

        for(int i=hd[id];i;i=nxt[i]){

            int nxid=to[i],nxval=val[i];

        //    cout<<"nxid: "<<nxid<<endl;

            if(dist[nxid]>dist[id]+nxval){

                dist[nxid]=dist[id]+nxval;

                if(vis[nxid]) continue;

                vis[nxid]=1; q.push(nxid);

            }

        }

    }

    return;

}

int main(){

    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);

    for(int i=1;i<=n;i++)

        for(int j=1;j<=m;j++)

            scanf("%d",&mp[i][j]);

    for(int i=1;i<=n;i++){

        for(int j=1;j<=m;j++){

            if(!mp[i][j]) continue;

            if(mp[i-1][j]) bfs(i-1,j,i,j,0);

            if(mp[i+1][j]) bfs(i+1,j,i,j,1);

            if(mp[i][j-1]) bfs(i,j-1,i,j,2);

            if(mp[i][j+1]) bfs(i,j+1,i,j,3);

        }

    }

    //预处理，建图

    while(q--){

        int ex,ey,sx,sy,tx,ty;

    	scanf("%d%d%d%d%d%d",&ex,&ey,&sx,&sy,&tx,&ty);

        if(sx==tx&&sy==ty){ puts("0"); continue; } 

        bfs(ex,ey,sx,sy,4); spfa(sx,sy); int ans=0x3f3f3f3f;

        for(int i=0;i<4;i++) ans=min(ans,dist[tx*30*4+ty*4+i]);

        (ans==0x3f3f3f3f)?puts("-1"):printf("%d\n",ans);

    }

    return 0;

}

巴特西

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