基于C语言的Q格式使用详解
用过DSP的应该都知道Q格式吧；
1 前言
Q格式是二进制的定点数格式，相对于浮点数，Q格式指定了相应的小数位数和整数位数，在没有浮点运算的平台上，可以更快地对浮点数据进行处理，以及应用在需要恒定分辨率的程序中（浮点数的精度是会变化的）；需要注意的是Q格式是概念上小数定点，通过选择常规的二进制数整数位数和小数位数，从而达到所需要的数值范围和精度，这里可能有点抽象，下面继续看介绍。
2 Q数据的表示
2.1 范围和精度
定点数通常表示为\(Q_{m.n}\)，其中m为整数个数，n为小数个数，其中最高位位符号位并且以二进制补码的形式存储；
- 范围：\([-(2^{m-1})，2^{m-1}-2^{-n}]\)
- 精度：\(2^{-n}\)
无符号的用\(UQ_{m.n}\)表示；
- 范围：\([0，2^m-2^{-n}]\)
- 精度：\(2^{-n}\)
2.2 推导
无符号Q格式数据的推导
这里以一个16位无符号整数为例，\(UQ_{9.7}\)所能表示的最大数据的二进制形式如下图所示；
所以不难看出，\(UQ_{9.7}\)的范围大小和精度；
根据等比数列求和公式得到，整数域最大值如下：
\]
小数域最大值如下：
\]
因此\(UQ_{9.7}\)的范围满足 \([0，2^9-2^{-7}]\)；
有符号Q格式数据的推导
这里以一个16位有符号整数为例，\(UQ_{9.7}\)所能表示的最大数据的二进制形式如下图所示；
所以不难求出，\(UQ_{9.7}\)的范围大小和精度；
根据等比数列求和公式得到，整数域最大值如下：
\]
小数域最大值如下：
\]
因此\(Q_{9.7}\)最大能表示的数为： \(2^8-2^{-7}\)；
\(Q_{9.7}\)所能表示的最小数据的二进制形式如下图所示；
可以从图中看到，该数表示为\(-2^8\)；
补充一下：负数在计算机中是补码的形式存在的，
补码=反码+1，符号位为1则表示为负数；
那么-4该如何表示呢？
以8 bit数据为例，如下所示；
原码：0B 0000 100
反码：0B 1111 011
补码：0B 1111 100
综上，可以得到有符号\(Q_{9.7}\)的范围是：\([-2^8，2^8-2^{-7}]\)
3 Q数据的运算
3.1 0x7FFF
最大数的十六进制为0x7FFF，如下图所示；
3.2 0x8000
最小数的十六进制为0X8000，如下图所示；
上述这两种情况，下面都会用到。
3.3 加法
加法和减法需要两个Q格式的数据定标相同，即\(Q_{m_1.n_1}\)和\(Q_{m_2.n_2}\)满足以下条件；
n_1 = n_2
\end{cases}\]
int16_t q_add(int16_t a, int16_t b)
{
return a + b;
}
上面的程序其实并不安全，在一般的DSP芯片具有防止溢出的指令，但是通常需要做一下溢出检测，具体如下所示；
int16_t q_add_sat(int16_t a, int16_t b)
{
int16_t result;
int32_t tmp;
tmp = (int32_t)a + (int32_t)b;
if (tmp > 0x7FFF)
tmp = 0x7FFF;
if (tmp < -1 * 0x8000)
tmp = -1 * 0x8000;
result = (int16_t)tmp;
return result;
}
3.4 减法
类似于加法的操作，需要相同定标的两个Q格式数进行相减，但是不会存在溢出的情况；
//https://great.blog.csdn.net/
int16_t q_sub(int16_t a, int16_t b)
{
return a - b;
}
3.5 乘法
乘法同样需要考虑溢出的问题，这里通过sat16函数，对溢出做了处理；
//https://great.blog.csdn.net/
// precomputed value:
#define K (1 << (Q - 1))
// saturate to range of int16_t
int16_t sat16(int32_t x)
{
if (x > 0x7FFF) return 0x7FFF;
else if (x < -0x8000) return -0x8000;
else return (int16_t)x;
}
int16_t q_mul(int16_t a, int16_t b)
{
int16_t result;
int32_t temp;
temp = (int32_t)a * (int32_t)b; // result type is operand's type
// Rounding; mid values are rounded up
temp += K;
// Correct by dividing by base and saturate result
result = sat16(temp >> Q);
return result;
}
3.6 除法
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int16_t q_div(int16_t a, int16_t b)
{
/* pre-multiply by the base (Upscale to Q16 so that the result will be in Q8 format) */
int32_t temp = (int32_t)a << Q;
/* Rounding: mid values are rounded up (down for negative values). */
/* OR compare most significant bits i.e. if (((temp >> 31) & 1) == ((b >> 15) & 1)) */
if ((temp >= 0 && b >= 0) || (temp < 0 && b < 0)) {
temp += b / 2; /* OR shift 1 bit i.e. temp += (b >> 1); */
} else {
temp -= b / 2; /* OR shift 1 bit i.e. temp -= (b >> 1); */
}
return (int16_t)(temp / b);
}
4 常见Q格式的数据范围
定点数\(X_q\)和浮点数\(X_f\)转换的关系满足以下公式：
X_q = (int)X_f*2^n \\
\\
X_f = (float)X_f*2^{-n}
\end{cases}\]
其中\(X_q\)为\(Q_{m.n}\)，
m表示整数位数，n表示小数位数；
#include <stdio.h>
#include <stdint.h>
#include <math.h>
int main()
{
// 0111 1111 1111 1111
int16_t q_max = 32767; // 0x7FFF
// 1000 0000 0000 0000
int16_t q_min = -32768; // 0x8000
float f_max = 0;
float f_min = 0;
printf("\r\n");
for (int8_t i = 15; i>=0; i--) {
f_max = (float)q_max / pow(2,i);
f_min = (float)q_min / pow(2,i);
printf("\t| Q %d | Q %d.%d| %f | %f |\r\n",
i,(15-i),i,f_max,f_min);
}
return 0;
}
运行得到结果如下所示；
| Q 格式 | Qmn | Max | Min |
|---|---|---|---|
| Q 15 | Q 0.15 | 0.999969 | -1.000000 |
| Q 14 | Q 1.14 | 1.999939 | -2.000000 |
| Q 13 | Q 2.13 | 3.999878 | -4.000000 |
| Q 12 | Q 3.12 | 7.999756 | -8.000000 |
| Q 11 | Q 4.11 | 15.999512 | -16.000000 |
| Q 10 | Q 5.10 | 31.999023 | -32.000000 |
| Q 9 | Q 6.9 | 63.998047 | -64.000000 |
| Q 8 | Q 7.8 | 127.996094 | -128.000000 |
| Q 7 | Q 8.7 | 255.992188 | -256.000000 |
| Q 6 | Q 9.6 | 511.984375 | -512.000000 |
| Q 5 | Q 10.5 | 1023.968750 | -1024.000000 |
| Q 4 | Q 11.4 | 2047.937500 | -2048.000000 |
| Q 3 | Q 12.3 | 4095.875000 | -4096.000000 |
| Q 2 | Q 13.2 | 8191.750000 | -8192.000000 |
| Q 1 | Q 14.1 | 16383.500000 | -16384.000000 |
| Q 0 | Q 15.0 | 32767.000000 | -32768.000000 |
5 0x5f3759df
Q格式虽然十分抽象，但是且看看这个数字0x5f3759df，感觉和Q格式有某种联系，它是雷神之锤3中的一个算法的魔数，毕竟游戏引擎需要充分考虑到效率，具体的由来可以看一下论文《Fast Inverse Square Root》，下面是源码中剥出来的快速平方根算法；
float Q_rsqrt( float number )
{
long i;
float x2, y;
const float threehalfs = 1.5F;
x2 = number * 0.5F;
y = number;
i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
y = * ( float * ) &i;
y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
// y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
#ifndef Q3_VM
#ifdef __linux__
assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
#endif
#endif
return y;
}
6 总结
本文介绍了Q格式的表示方式以及相应的运算，另外需要注意在Q格式运算的时候，两者定标必须相同，对于数据的溢出检测也要做相应的处理。
作者能力有限，文中难免有错误和纰漏之处，请大佬们不吝赐教
创作不易，如果本文帮到了您；
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