【刷题】洛谷 P3834 【模板】可持久化线段树 1（主席树）

题目背景

这是个非常经典的主席树入门题——静态区间第K小

数据已经过加强，请使用主席树。同时请注意常数优化

题目描述

如题，给定N个正整数构成的序列，将对于指定的闭区间查询其区间内的第K小值。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个正整数N、M，分别表示序列的长度和查询的个数。

第二行包含N个正整数，表示这个序列各项的数字。

接下来M行每行包含三个整数l, r, kl,r,k , 表示查询区间[l, r][l,r] 内的第k小值。

输出格式：

输出包含k行，每行1个正整数，依次表示每一次查询的结果

输入输出样例

输入样例#1：

5 5

25957 6405 15770 26287 26465

2 2 1

3 4 1

4 5 1

1 2 2

4 4 1

输出样例#1：

6405

15770

26287

25957

26287

说明

数据范围：

对于20%的数据满足：\(1 \leq N, M \leq 10\)

对于50%的数据满足：\(1 \leq N, M \leq 10^3\)

对于80%的数据满足：\(1 \leq N, M \leq 10^5\)

对于100%的数据满足：\(1 \leq N, M \leq 2\cdot 10^5\)

对于数列中的所有数\(a_i\) ，均满足\(-{10}^9 \leq a_i \leq {10}^9\)

样例数据说明：

N=5，数列长度为5，数列从第一项开始依次为\([25957, 6405, 15770, 26287, 26465 ]\)

第一次查询为\([2, 2]\) 区间内的第一小值，即为6405

第二次查询为\([3, 4]\) 区间内的第一小值，即为15770

第三次查询为\([4, 5]\) 区间内的第一小值，即为26287

第四次查询为\([1, 2]\) 区间内的第二小值，即为25957

第五次查询为\([4, 4]\) 区间内的第一小值，即为26287

题解

主席树

这道题当作是我学习主席树的开端吧，模板题

主席树维护的是区间，但这个区间不是下标（即位置）的区间，而是权值的区间

在一个版本中

区间\([l,l]\)上记录的是\(l\)这个数出现了多少次
区间\([l,r]\)上记录的就是\(l,l+1,...,r-1,r\)每个数出现次数之和了

所以要先离散化

主席树说白了就是给一个长度为\(n\)的序列建\(n\)棵权值线段树，第\(i\)棵线段树只存了\(a_1,a_2,a_3,...a_{i-1},a_i\)

这样我们对于本题这样的静态查询第\(k\)小，就可以差分了（想一想原理）

然后发现相邻两棵线段树改变的只有一条路径上的值，其它的值都是一样的，那么为了节省空间，我们把那些值一样的存在同一个节点（即共用节点），就不用再开节点了

同时，我们称第\(i\)棵线段树为第\(i\)个版本

差分的话，就是

如果要查询\([l,r]\)中的信息，那么我们看

第\(r\)棵线段树记录的是\(a_1,a_2,...,a_r\)中的信息

第\(l-1\)棵线段树记录的是\(a_1,a_2,...a_{l-1}\)中的信息

它们相减后，就变成\(a_l,a_{l+1},...,a_r\)中的信息了

而它们能够相减的依据是：每一棵线段树每一个节点维护的内容是一样的（只是其中的值不一样而已）

#include<bits/stdc++.h>

#define ll long long

#define db double

#define ld long double

#define Mid ((l+r)>>1)

#define lson l,Mid

#define rson Mid+1,r

const int MAXN=200000+10;

int n,m,A[MAXN];

struct ChairMan_Tree{

	int sum[MAXN<<5],lc[MAXN<<5],rc[MAXN<<5],cnt,root[MAXN];

	inline void init()

	{

		memset(sum,0,sizeof(sum));

		memset(lc,0,sizeof(lc));

		memset(rc,0,sizeof(rc));

		cnt=0;

	}

	inline void Build(int &rt,int l,int r)

	{

		rt=++cnt;

		sum[rt]=0;

		if(l==r)return ;

		Build(lc[rt],lson);

		Build(rc[rt],rson);

	}

	inline void Insert(int &rt,int l,int r,int last,int pos)

	{

		rt=++cnt;

		lc[rt]=lc[last];

		rc[rt]=rc[last];

		sum[rt]=sum[last]+1;

		if(l==r)return ;

		else

		{

			if(pos<=Mid)Insert(lc[rt],lson,lc[last],pos);

			else Insert(rc[rt],rson,rc[last],pos);

		}

	};

	inline int Query(int now,int last,int l,int r,int k)

	{

		if(l==r)return l;

		else

		{

			int t=sum[lc[now]]-sum[lc[last]];

			if(k<=t)return Query(lc[now],lc[last],lson,k);

			else return Query(rc[now],rc[last],rson,k-t);

		}

	};

};

ChairMan_Tree T;

std::vector<int> V;

std::map<int,int> M;

template<typename T> inline void read(T &x)

{

	T data=0,w=1;

	char ch=0;

	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();

	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();

	while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();

	x=data*w;

}

template<typename T> inline void write(T x,char c='\0')

{

	if(x<0)putchar('-'),x=-x;

	if(x>9)write(x/10);

	putchar(x%10+'0');

	if(c!='\0')putchar(c);

}

template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}

template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}

template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}

template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}

inline void discre()

{

	sort(V.begin(),V.end());

	V.erase(unique(V.begin(),V.end()),V.end());

	for(register int i=1;i<=n;++i)

	{

		int pre=A[i];

		A[i]=lower_bound(V.begin(),V.end(),A[i])-V.begin()+1;

		M[A[i]]=pre;

	}

}

int main()

{

	read(n);read(m);

	T.init();

	T.Build(T.root[0],1,n);

	for(register int i=1;i<=n;++i)

	{

		read(A[i]);

		V.push_back(A[i]);

	}

	discre();

	for(register int i=1;i<=n;++i)T.Insert(T.root[i],1,n,T.root[i-1],A[i]);

	while(m--)

	{

		int l,r,k;

		read(l);read(r);read(k);

		write(M[T.Query(T.root[r],T.root[l-1],1,n,k)],'\n');

	}

	return 0;

}

巴特西

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