【刷题】BZOJ 1977 [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree

Description

小 C 最近学了很多最小生成树的算法，Prim 算法、Kurskal 算法、消圈算法等等。正当小 C 洋洋得意之时，小 P 又来泼小 C 冷水了。小 P 说，让小 C 求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说：如果最小生成树选择的边集是 EM，严格次小生成树选择的边集是 ES，那么需要满足：(value(e) 表示边 e的权值)

这下小 C 蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。

Input

第一行包含两个整数N 和M，表示无向图的点数与边数。接下来 M行，每行 3个数x y z 表示，点 x 和点y之间有一条边，边的权值为z。

Output

包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)

Sample Input

5 6

1 2 1

1 3 2

2 4 3

3 5 4

3 4 3

4 5 6

Sample Output

HINT

数据中无向图无自环； 50% 的数据N≤2 000 M≤3 000； 80% 的数据N≤50 000 M≤100 000； 100% 的数据N≤100 000 M≤300 000 ，边权值非负且不超过 10^9 。

Solution

一开始一直没搞懂次小生成树的定义，其实就是所有生成树的值从小到大排个序，第一的就是MST，那第二的就是次小生成树了

然后对于严格最小生成树，就是排序的时候还要去重

那这题怎么做？

求一个MST，然后枚举每一条边，看这条边如果强行插进去，生成树的权值会加多少，取最少的那个就行了。但增加量显然不能是0，不然就不严格了

所以用LCT维护MST，有新的边插入时，chkmin增量。由于这条边的边权可能跟MST中最大边的边权相等，这样增量就是0了，显然不合法。那就在LCT里再维护一个次大值（严格与最大值不同），这样当新的边与MST的最大边边权相同时，就换次大边

#include<bits/stdc++.h>

#define ll long long

#define db double

#define ld long double

const int MAXN=100000+10,MAXM=300000+10;

int n,m,fa[MAXN];

ll lst,ext=1e18;

struct edge{

	int u,v,w;

	inline bool operator < (const edge &A) const {

		return w<A.w;

	};

};

edge side[MAXM];

template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}

template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}

template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}

template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}

#define lc(x) ch[(x)][0]

#define rc(x) ch[(x)][1]

struct LCT{

	int ch[MAXN+MAXM][2],fa[MAXN+MAXM],Mx[MAXN+MAXM],SMx[MAXN+MAXM],rev[MAXN+MAXM],stack[MAXN+MAXM],val[MAXN+MAXM],cnt;

	inline bool nroot(int x)

	{

		return lc(fa[x])==x||rc(fa[x])==x;

	}

	inline void reverse(int x)

	{

		std::swap(lc(x),rc(x));

		rev[x]^=1;

	}

	inline void pushup(int x)

	{

		if(Mx[lc(x)]>Mx[rc(x)])Mx[x]=Mx[lc(x)],SMx[x]=max(Mx[rc(x)],SMx[lc(x)]);

		else if(Mx[lc(x)]<Mx[rc(x)])Mx[x]=Mx[rc(x)],SMx[x]=max(Mx[lc(x)],SMx[rc(x)]);

		else Mx[x]=Mx[lc(x)],SMx[x]=max(SMx[lc(x)],SMx[rc(x)]);

		if(val[x]>Mx[x])SMx[x]=Mx[x],Mx[x]=val[x];

		else if(val[x]!=Mx[x])chkmax(SMx[x],val[x]);

	}

	inline void pushdown(int x)

	{

		if(rev[x])

		{

			if(lc(x))reverse(lc(x));

			if(rc(x))reverse(rc(x));

			rev[x]=0;

		}

	}

	inline void rotate(int x)

	{

		int f=fa[x],p=fa[f],c=(rc(f)==x);

		if(nroot(f))ch[p][rc(p)==f]=x;

		fa[ch[f][c]=ch[x][c^1]]=f;

		fa[ch[x][c^1]=f]=x;

		fa[x]=p;

		pushup(f);

		pushup(x);

	}

	inline void splay(int x)

	{

		cnt=0;

		stack[++cnt]=x;

		for(register int i=x;nroot(i);i=fa[i])stack[++cnt]=fa[i];

		while(cnt)pushdown(stack[cnt--]);

		for(register int y=fa[x];nroot(x);rotate(x),y=fa[x])

			if(nroot(y))rotate((lc(y)==x)==(lc(fa[y])==y)?y:x);

		pushup(x);

	}

	inline void access(int x)

	{

		for(register int y=0;x;x=fa[y=x])splay(x),rc(x)=y,pushup(x);

	}

	inline void makeroot(int x)

	{

		access(x);splay(x);reverse(x);

	}

	inline void split(int x,int y)

	{

		makeroot(x);access(y);splay(y);

	}

	inline void link(int x,int y)

	{

		makeroot(x);fa[x]=y;

	}

};

LCT T;

#undef lc

#undef rc

template<typename T> inline void read(T &x)

{

	T data=0,w=1;

	char ch=0;

	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();

	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();

	while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();

	x=data*w;

}

template<typename T> inline void write(T x,char c='\0')

{

	if(x<0)putchar('-'),x=-x;

	if(x>9)write(x/10);

	putchar(x%10+'0');

	if(c!='\0')putchar(c);

}

inline int found(int x)

{

	if(fa[x]!=x)fa[x]=found(fa[x]);

	return fa[x];

}

int main()

{

	read(n);read(m);

	for(register int i=1;i<=n;++i)fa[i]=i;

	for(register int i=1;i<=m;++i)read(side[i].u),read(side[i].v),read(side[i].w);

	std::sort(side+1,side+m+1);

	for(register int i=1,x,y,sn;i<=m;++i)

	{

		x=found(side[i].u),y=found(side[i].v);

		sn=n+i;

		if(x!=y)

		{

			fa[x]=y;

			lst+=side[i].w;

			T.val[sn]=T.Mx[sn]=side[i].w;

			T.link(sn,side[i].u);T.link(sn,side[i].v);

		}

		else

		{

			T.split(side[i].u,side[i].v);

			chkmin(ext,side[i].w-(ll)(side[i].w>T.Mx[side[i].v]?T.Mx[side[i].v]:T.SMx[side[i].v]));

		}

	}

	write(lst+ext,'\n');

	return 0;

}

巴特西