关于H-Fox 函数
........We arrive at the following results which provide the sine and cosine transforms of the H-function
$$\int_{0}^{\infty}x^{\rho}\sin (ax)H_{p,q}^{m,n}\bigg[bx^{\sigma}\Bigg|{}_{(b_{q},B_{q})}^{(a_{p},A_{p})}\Bigg]dx=\frac{2^{\rho-1}\sqrt{\pi}}{a^{\rho}}H_{p+2,q}^{m,n+1}\Bigg[b\left(\frac{2}{a}\right)^{\sigma}\Bigg|{}_{(b_{q},B_{q})}^{(\frac{1-\rho}{2},\frac{\rho}{2}),(a_{p},A_{p}),(\frac{2-\rho}{2},\frac{\rho}{2}}\Bigg]$$
where $a,\alpha,\sigma>0,\rho,b\in C,|\arg b|<\frac{\pi \alpha}{2}$,
$$Re(\rho)+\sigma \min_{1\leq j\leq m}Re\left(\frac{b_{j}}{B_{j}}\right)>-1;Re(\rho)+\sigma\max_{1\leq j\leq n}\frac{a_{j}-1}{A_{j}}<1$$
And
$$\int_{0}^{\infty}x^{\rho}\cos (ax)H_{p,q}^{m,n}\bigg[bx^{\sigma}\Bigg|{}_{(b_{q},B_{q})}^{(a_{p},A_{p})}\Bigg]dx=\frac{2^{\rho-1}\sqrt{\pi}}{a^{\rho}}H_{p+2,q}^{m,n+1}\Bigg[b\left(\frac{2}{a}\right)^{\sigma}\Bigg|{}_{(b_{q},B_{q})}^{(\frac{2-\rho}{2},\frac{\rho}{2}),(a_{p},A_{p}),(\frac{1-\rho}{2},\frac{\rho}{2})}\Bigg]$$
where $a,\alpha,\sigma>0,\rho,b\in C,|\arg b|<\frac{\pi \alpha}{2}$,
$$Re(\rho)+\sigma \min_{1\leq j\leq m}Re\left(\frac{b_{j}}{B_{j}}\right)>0;Re(\rho)+\sigma\max_{1\leq j\leq n}\frac{a_{j}-1}{A_{j}}<1$$
Specially,
$$E_{\alpha,\beta}(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{\Gamma(\alpha z+\beta)}=H_{1,2}^{1,1}\Bigg[-z\Bigg|_{(0,1),(1-\beta,\alpha)}^{(0,1)}\Bigg]$$
Set $z=-a x^{2}$, we have
$$E_{\alpha,\beta}(-a x^{2})=H_{1,2}^{1,1}\Bigg[a x^{2}\Bigg|_{(0,1),(1-\beta,\alpha)}^{(0,1)}\Bigg]$$
Thus,
$$\int_{0}^{\infty}\cos (kx)E_{\alpha,\beta}(-ax^{2})dx=\frac{\pi}{k}H_{1,1}^{1,0}\Bigg[\frac{k^{2}}{a}\Bigg|_{(1,2)}^{(\beta,\alpha)}\Bigg]$$
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