Co-prime

showproblem.php?pid=4135

Mean:

给你一个区间[l,r]和一个数n，求[l,r]中有多少个数与n互素。

analyse:

经典的容斥原理题。

如果题目是说求1~n中有多少个数与n互质，我们一定反应应该是欧拉函数。

但是如果n特别大或者说是求某个给定区间与n互素的个数，这时用欧拉函数就行不通。

容斥做法：首先我们可以在O(sqrt(n))内求出n的所有质因数p1,p2,p3....pk。

对于每个质因数pi，1~r中不与它互素的个数就是r/pi。

然后就是如何容斥了？

首先我们来分析，n<=1e9，那么n的质因数的个数最多不超过9个，那么我们就可以对n的所有质因数进行组合来计算。

例如：30的质因数有3个(2,3,5),我们可以用二进制来表示所有的情况：

001： 5

010： 3

011： 3 5

100： 2

101： 2 5

110： 2 3

111： 2 3 5

假设有k个质因数，那么只需用2^k-1个数的二进制来表示即可。

剩下的就是容斥了，设cnt为1的个数(选中的质因数的个数)，当cnt为奇数，sum加上此次的;cnt为偶数，sum减去此次的。

具体看代码。

Time complexity: O(N)

Source code:

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巴特西