Math: Fibonacci

https://www.zhihu.com/question/28062458

http://blog.csdn.net/hikean/article/details/9749391

对于Fibonacci数列，1，1，2，3，5，8，13，21...

F(0) ＝ 1， F(1) ＝ 1, F(i) = F(i-1) + F(i-2) 求解第n项。

1、递归

long fib(int n)

{

    if (n ==  || n == )

    {

        return ;

    }

    return fib(n-) + fib(n-);

}

这是最好写，也是效率最低的方法，时间复杂度是指数级别的。

2、遍历

long fib(int n)

{

    if (n ==  || n == )

    {

       return ;

    }

    vector <long> fibs(, );

    for (int i = ; i <= n; ++i)

    {

        fibs.push_back(fibs[i-] + fibs[i-]);

    }

    return fibs[n];

}

这个方法也是很容易想到的，时间复杂度是 O(n), 空间复杂度也是 O(n)。

3、遍历优化版

fibs[n]只和前两个元素相关，因此任意时刻我们只要有前两项就可以了。这样空间复杂度可以做到 O(1)，我们用个循环数组就可以了。

long fib(int n)

{

    if (n ==  || n == )

    {

       return ;

    }

    int fib[];

    fib[] = fib[] = ;

    int idx = ;

    for (int i = ; i <= n; ++i)

    {

        idx = (idx + ) % ;

        fib[idx] = fib[(idx + )%] + fib[(idx + )%];

    }

    return fib[idx];

}

4、矩阵相乘

把一维问题拉到二维。

所以，

现在问题是如何快速计算一个矩阵的n次方。这里可以利用A^n = A^(n/2)*A^(n/2) * (n % 2 == 1 ? A : I)进行分治。

matrix power(matrix A, int n)

{

    matrix ans = I;

    while(n > )

    {

        if (n %  == )

        {

           ans *= A;

        }

        A *= A;

        n /= ;

    }

    return ans;

}

这个算法的时间复杂度是O(logN).

5、特征值分解

对于矩阵的 n 次方求解，可以通过矩阵的特征值分解来完成。过程如下：

6、差分方程求解

如果了解差分方程，那么这个解析解就很容易得到了。

巴特西

Math: Fibonacci

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