bzoj 3992 [SDOI2015] 序列统计 —— NTT (循环卷积+快速幂)

首先，如果把方案数和乘积分别放在系数和次数上，就可以用多项式做了；

方案数放在系数上好说，但次数是相加的，如何表示乘积？

考虑乘积与加法的关系 —— 幂的相乘就是指数相加；

所以可以找出乘积的模数 m 的原根，用其次数相加代表乘积，这个次数好像被称为“指标”；

构造出多项式，由于要取模，所以用 NTT 做；

也就是要把初始的多项式做 n 次幂，可以用快速幂，但注意累乘起来的是系数而不是点值；

指标从0开始或从1开始都可以，也就是把 0 次方作为 1 和把 m-1 次方作为 1 的区别，对应系数的时候要根据这个注意一下(代码中注释里的方案也可)；

初始化一个多项式并不是把每个系数都赋值1！而只有第0项是1，这样别的多项式乘过来还是那个多项式；

然后要特别注意读入时去掉0！因为原根系列中没有模出0的，所以以原根为基础的 NTT 算的时候不能考虑0，而反正最后要求的方案中，x >= 1，一旦有0，乘积就是0了，所以0对答案没有影响，就当没给这个数算即可；

一下午的心血...

代码如下：

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

int const xn=(<<),xm=,mod=;

int n,m,rev[xn],g,a[xn],b[xn],lim,r[xm],cnt,pri[xm],inv;

int rd()

{

  int ret=,f=; char ch=getchar();

  while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=; ch=getchar();}

  while(ch>=''&&ch<='')ret=(ret<<)+(ret<<)+ch-'',ch=getchar();

  return f?ret:-ret;

}

int pw(ll a,int b,int md)

{

  ll ret=;

  for(;b;b>>=,a=(a*a)%md)if(b&)ret=(ret*a)%md;

  return ret;

}

void div(int x)

{

  for(int i=;i*i<=x;i++)

    {

      if(x%i)continue;

      pri[++cnt]=i; while(x%i==)x/=i;

    }

  if(x>)pri[++cnt]=x;

}

void init()

{

  lim=; int l=;

  while(lim<=m+m)lim<<=,l++;

  //while(lim<=2*(m-1))lim<<=1,l++;

  for(int i=;i<lim;i++)

    rev[i]=((rev[i>>]>>)|((i&)<<(l-)));

  inv=pw(lim,mod-,mod);

  if(m==){g=; return;}

  div(m-);

  for(g=;;g++)

    {

      bool f=;

      for(int j=;j<=cnt;j++)

    if(pw(g,(m-)/pri[j],m)==){f=; break;}

      if(!f)break;

    }

  for(int i=,k=g;i<m;i++,k=(ll)k*g%m)r[k]=i;

  //for(int i=0,k=1;i<m-1;i++,k=(ll)k*g%m)r[k]=i;//k=1

}

int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod; while(x<)x+=mod; return x;}

void ntt(int *a,int tp)

{

  for(int i=;i<lim;i++)

    if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);

  for(int mid=;mid<lim;mid<<=)

    {

      int wn=pw(,(mod-)/(mid<<),mod);

      if(tp==-)wn=pw(wn,mod-,mod);//

      for(int j=,len=(mid<<);j<lim;j+=len)

    {

      int w=;

      for(int k=;k<mid;k++,w=(ll)w*wn%mod)

        {

          int x=a[j+k],y=(ll)w*a[j+mid+k]%mod;

          a[j+k]=upt(x+y); a[j+mid+k]=upt(x-y);

        }

    }

    }

}

void pww()

{

  ntt(a,);

  for(int i=;i<lim;i++)a[i]=(ll)a[i]*a[i]%mod;

  ntt(a,-);

  for(int i=;i<lim;i++)a[i]=(ll)a[i]*inv%mod;

  for(int i=m;i<lim;i++)a[i%m+]=upt(a[i%m+]+a[i]),a[i]=;//%m+1

  //for(int i=m-1;i<lim;i++)a[i%(m-1)]=upt(a[i%(m-1)]+a[i]),a[i]=0;

}

void mul()

{

  ntt(a,); ntt(b,);//

  for(int i=;i<lim;i++)b[i]=(ll)b[i]*a[i]%mod;

  ntt(a,-); ntt(b,-);//

  for(int i=;i<lim;i++)

    a[i]=(ll)a[i]*inv%mod,b[i]=(ll)b[i]*inv%mod;

  for(int i=m;i<lim;i++)

    a[i%m+]=upt(a[i%m+]+a[i]),a[i]=,

      b[i%m+]=upt(b[i%m+]+b[i]),b[i]=;

  /*

  for(int i=m-1;i<lim;i++)

    a[i%(m-1)]=upt(a[i%(m-1)]+a[i]),a[i]=0,

      b[i%(m-1)]=upt(b[i%(m-1)]+b[i]),b[i]=0;

  */

}

int main()

{

  n=rd(); m=rd(); init();

  int p=rd(),num=rd();

  for(int i=,x;i<=num;i++)

    {

      x=rd();

      if(x)a[r[x]]=;//x!=0 !!

    }

  int t=n;

  //for(int i=0;i<lim;i++)b[i]=1;

  b[]=;//!

  for(;t;t>>=,pww())if(t&)mul();

  printf("%d\n",b[r[p]]);

  return ;

}

巴特西

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