牛客20347 SDOI2011计算器(bsgs
2024-09-01 04:46:55
https://ac.nowcoder.com/acm/problem/20347
这篇是为了补bsgs(北上广深算法)。
题意:
1、给定y,z,p,计算Y^Z Mod P 的值;
2、给定y,z,p,计算满足xy≡ Z ( mod P )的最小非负整数;
3、给定y,z,p,计算满足Y^x ≡ Z ( mod P)的最小非负整数。
思路:
1.当然是裸的快速幂取模啦。
2.原式<=>yx+pk=z有解,exgcd记录d=gcd(y,p),看是否d|z即可。
3.要求满足形如a^x ≡ b (mod p)的最小非负整数x。
由周期性只需在[0,p)讨论即可,证明的话,抽屉原理显然,或者由费马小定理( 当p为质数且(a,p)=1时 a^(p-1)=1 (mod p) )能推出a^k=a^(k mod (p-1)) (mod p)。
把x分块,每块长度是m,其中m=ceil(sqrt(p)),则a^(i*m-j) = b (mod p),移项得a^(i*m) = b*a^j (mod p)
枚举j(范围0-m),将b*a^j存入哈希表。
枚举i(范围1-m),从哈希表找出第一个满足a^(i*m) = b*a^j (mod p)的i
此时x = i*m-j就是答案
时间复杂度O(m+p/m),m取√p时最优。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int T,k,a,b,p;
map<int,int>mp; int kuai(int a,int b,int mod)
{
if(b==)return a;
int x=kuai(a,b/,mod);
if(b%==)return x*x%mod;
else return x*x%mod*a%mod;
} void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
if(b==){d=a;x=;y=;}
else{exgcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
} int bsgs(int a,int b,int p){
a%=p;b%=p;
if(!a&&!b) return ;
if(!a||!b) return -;
mp.clear();
int m = ceil(sqrt(1.0*p)),tmp=;
mp[tmp*b%p]=;
for(int j=;j<=m;j++){
tmp = tmp*a%p;
if(!mp[tmp*b%p]) mp[tmp*b%p] = j;
}
int t = ,ans;
for(int i=;i<=m;i++){
t=t*tmp%p;
if(mp[t]){
ans = i*m-mp[t];
return (ans%p+p)%p;
}
}
return -;
} signed main(){ scanf("%lld%lld",&T,&k);
while(T--)
{
scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&p);
if(k==)printf("%lld\n",kuai(a,b,p)%p);
else if(k==)
{
int x=,y=,d;
exgcd(a,p,d,x,y);
if(b%d)
{
puts("Orz, I cannot find x!");
continue;
}
x=x*b/d;
x=(x%p+p)%p;
printf("%lld\n",x);
}
else{
int ans=bsgs(a,b,p);
if(ans==-)puts("Orz, I cannot find x!");
else printf("%lld\n",ans);
}
}
return ;
}
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