P2258 子矩阵

题目描述

给出如下定义：

子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。

例如，下面左图中选取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一个2*3的子矩阵如右图所示。

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

的其中一个2*3的子矩阵是

4 7 4

8 6 9

相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。
矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

本题任务：给定一个n行m列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

(本题目为2014NOIP普及T4)

输入输出格式

输入格式：

第一行包含用空格隔开的四个整数n，m，r，c，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的n行，每行包含m个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。

输出格式：

输出共1行，包含1个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

输入样例#2：

7 7 3 3

7 7 7 6 2 10 5

5 8 8 2 1 6 2

2 9 5 5 6 1 7

7 9 3 6 1 7 8

1 9 1 4 7 8 8

10 5 9 1 1 8 10

1 3 1 5 4 8 6

输出样例#2：

说明

【输入输出样例1说明】

该矩阵中分值最小的2行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行与第1列、第3列、第4列交叉位置的元素组成，为

6 5 6

7 5 6

，其分值为

|6−5| + |5−6| + |7−5| + |5−6| + |6−7| + |5−5| + |6−6| =6。

【输入输出样例2说明】

该矩阵中分值最小的3行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行、第6行与第2列、第6列、第7列交叉位置的元素组成，选取的分值最小的子矩阵为

9 7 8 9 8 8 5 8 10

【数据说明】

对于50%的数据，1 ≤ n ≤ 12，1 ≤ m ≤ 12，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 20；

对于100%的数据，1 ≤ n ≤ 16，1 ≤ m ≤ 16，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 1,000，

1 ≤ r ≤ n，1 ≤ c ≤ m。

/*

好题

枚举完行后，由于行已确定，因此可以把所有行捆绑，视为一个整体。

设dp[i][k]表示前i列选了k列，并且第i列强制被选。

那么转移方程为：dp[i][k]=dp[j][k-1]+cost[j][i]+val[i]

其中j<i，cost[j][i]表示第i列与第j列相邻的花费，val[i]表示第i列内的花费。

答案即为max{dp[i][c]}。

*/

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cstdlib>

#define maxn 18

using namespace std;

int n,m,ans,num,r,c;

int a[maxn][maxn],dp[maxn][maxn];

int cost[maxn][maxn],val[maxn],R[maxn];

int DP()

{

    int res=1e9;

    for (int i=;i<=m;++i)//处理每一列的花费

    {

        val[i]=;

        for (int j=;j<r;++j)

            val[i]+=abs(a[R[j]][i]-a[R[j+]][i]);

    }

    for(int i=;i<=m;i++)//处理列与列之间的花费

      for(int j=i+;j<=m;j++)

      {

          cost[i][j]=;

          for(int k=;k<=r;k++)

            cost[i][j]+=abs(a[R[k]][i]-a[R[k]][j]);

      }

    dp[][]=;

    for (int i=;i<=n;++i) dp[i][]=;

    for(int i=;i<=m;i++)//注意状态的转移

      for(int k=;k<=i&&k<=c;k++)

      {

          dp[i][k]=1e9;

          for(int j=k-;j<i;j++)

          {

              dp[i][k]=min(dp[i][k],dp[j][k-]+cost[j][i]+val[i]);

        }

      }

    for(int i=c;i<=m;i++)

      res=min(res,dp[i][c]);

      return res;

}

void dfs(int u,int cnt)//枚举选哪些行

{

    if(u>n)

    {

        if(cnt==r) ans=min(ans,DP());

        return;

    }

    dfs(u+,cnt);

    R[cnt+]=u;

    dfs(u+,cnt+);

}

int main()

{

    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c);

    for(int i=;i<=n;i++)

      for(int j=;j<=m;j++)

        scanf("%d",&a[i][j]);

    ans=1e9;

    dfs(,);

    printf("%d\n",ans);

}

巴特西

P2258 子矩阵(dp)

P2258 子矩阵

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