[SDOI2008]沙拉公主的困惑线性筛素数+欧拉

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[SDOI2008]沙拉公主的困惑线性筛素数+欧拉

题目大意

给定n,m,求在1到n!内与m!互质的个数，答案要对r取模。

输入格式：

第一行为两个整数T，R。R<=10^9+~~10，T<=10000，表示该组中测试数据数目，R为模后面T行，每行一对整数n，m，见题目描述 m<=n

输出格式：

共T行，对于每一对N，M，输出1至N！中与M！素质的数的数量对R取模后的值

输入输出样例

input

1 11

4 2

output

1

解题分析

首先，我们来引出一个定理

如果a与b互质，那么$b*k+a$也与b互质。证明和证明gcd的证明类似。

反过来，我们也可以用$gcd$证明，

因为$gcd(a,b)=1$，所以$gcd(a\%b,b)=1$

因为$a\%b=a-k*b$，故$gcd(a-k*b,b)=1$,及$a-k*b$与$b$互质。

根据这个特性，并且$n>=m$,所以可以将n！分成若干段，每段为m!，每一段中与m!互质的个数都是相等的且等于1到m！中与m！互质的个数

我们可以得到式子

$ans={\frac{n!}{m!}*\phi(m!)}$

进一步拆开，我们可以得到（假设p为m!的质因数，很容易可以知道，p就是所有小于m的素数，r为质因数个数）

$ans={\frac{n!}{m!}*m!*\frac{\prod \limits_{i=1}^{r}(p_i-1)}{\prod\limits_{i=1}^{r}p_i } \to ans=n!*\frac{\prod \limits_{i=1}^{r}(p_i-1)}{\prod\limits_{i=1}^{r}p_i } }$

因为$ans$ 要$\mod R$,所以我们也要算1到m的逆元，在累乘$\prod\limits_{i=1}^{r}p_i $，乘的是$p_i $的逆元。
有多组询问,我们得先预处理一些数据,累乘的时候要%R
我们令$k[i] = i! ,inv[i]为i的逆元，$f1[i]= {\prod\limits_{a=1}^{i}(p_a-1)}$

$ ,f2[i]={\prod\limits_{a=1}^{i}p_a} ans=f1[m]f2[m]k[n]$

先预处理O()答案，对于询问O(1)出解

#include <cstdio>

#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std;

const int MAXN=10000000+10;

bool su[MAXN];

int q[MAXN][2],maxm,maxn,t,inv[MAXN],p,n,m;

int k[MAXN],f1[MAXN],f2[MAXN],ans=0;

void work()

{

  inv[1]=1;k[1]=1;f1[1]=1;f2[1]=1;

  for(int i=2;i<=sqrt(maxm);i++) if(!su[i])

    for(int j=2;j<=maxm/i;j++) su[i*j]=1;

	for(int i=2;i<=maxn;i++)

  {

  	if(i<=maxm)

    {

  	  inv[i]=(1LL*-(p/i)*inv[p%i])%p;

      inv[i]=(inv[i]%p+p)%p;

    }

      if(i<=maxm)

  	  {

    	  if(!su[i])

        {

	        f1[i]=(1LL*f1[i-1]*((i-1)%p))%p;

          f2[i]=(1LL*f2[i-1]*(inv[i]%p))%p;

        }else

        {

          f1[i]=f1[i-1];

          f2[i]=f2[i-1];

        }

    	}

    k[i]=(1LL*k[i-1]*(i%p))%p;

  }

}

int main()

{

  scanf("%d%d",&t,&p);

  for(int i=1;i<=t;i++)

  {

	  scanf("%d%d",&q[i][0],&q[i][1]);

    maxn=max(maxn,q[i][0]);

    maxm=max(maxm,q[i][1]);

  }

  work();

  for(int i=1;i<=t;i++)

	{

	  ans=((1LL*k[q[i][0]]%p)*1LL*(f1[q[i][1]]%p))%p;

    ans=(ans*1LL*(f2[q[i][1]]%p))%p;

    printf("%d\n",ans);

  }

  return 0;

}

/*

2 11

6 3

10 5

*/

巴特西

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