问题

今天无意中在Quora上看到有人贴出来一道号称是SAT里最难的一道数学题，一下子勾起了我的兴趣。于是拿起笔来写写画画，花了差不多十五分钟搞定。觉得有点意思，决定把解题过程记下来。原帖的图太小，我用GeoGebra重新画了一遍。没错，我就是强迫症。

In the figure above, arc (text{SBT}) is one quarter of a circle with center (text{R}) and radius 6. If the length plus the width of rectangle (text{ABCR}) is 8, then the perimeter of the shaded region is

翻译：上图中，弧(text{SBT})为四分之一圆；该圆圆心为(text{R})点，半径为6。若矩形(text{ABCR})的长、宽之和为8，则阴影部分的周长应为

1. (8+3 pi)
2. (10+3pi)
3. (14+3pi)
4. (1+6pi)
5. (12+6pi)

解

半径为6，即( text{SR}=text{RT}=6 )。如图作辅助线(text{RB})，设(theta=angle{text{ARB}})。

阴影区域周长(L=text{SA}+text{AC}+text{CT}+widehat{text{SBT}})。(widehat{text{SBT}})是四分之一圆，所以

又因(text{ABCR})为矩形，得出(text{AC}=text{RB}=6)。因为圆弧的长为(3pi)，排除两个圆弧部分是(6pi)的答案；又因为剩余未知的

所以选B，(L=10+3pi)。

这……貌似没多难嘛，我高中毕业之后就没再碰过欧氏几何都没怎么费力气……¹

没费力气才怪

如果只是上面几行字，怎么可能用上15分钟才解出来？上面的解法是我写这篇文章的时候才想到的；我下午花了十五分钟的解法，其实离走火入魔就差那么一点点。有没有注意到上面的解里根本没用上(theta)？没错，(theta)就是下午那会儿脑筋转不开的时候的产物。来看看我是如何绕圈解决(text{SA}+text{CT})的吧：

要知道(text{SA})和(text{CT})，就要知道(text{AR})和(text{RC})。(text{AR}=text{RB}cos{theta}=6cos{theta})，(text{AB}=text{RB}sin{theta}=6sin{theta})。又有(text{AR}+text{RC}=6cos{theta}+6sin{theta}=8)，那么

之所以用到三角函数，就是因为当时只想着暴力解出(text{AR})和(text{RC})来。我甚至已经解出了(sin{2theta}=frac{7}{9})来，差点就要反求(theta)的值了……还好我适时地反问了一下自己：美国人的高中考试会有求反三角函数值的问题吗？选择题都要用科学计算器才能解出来的，那TMD是奥数²。

以上。

最近发布 ≌ Recently

二维码 ≌ QR code

（看）评论 ≌ (Show) Comments