2023.1.16 [模板]BSGS/exBSGS

全称Boy Step Girl Step

给定一个质数 p，以及一个整数 a，一个整数 b，现在要求你计算一个最小的非负整数 l,

满足\(a^x \equiv b (mod p)\)

算法流程

设t = \(\lceil \sqrt p \rceil\) ,x = i * t - m (0\(\leq\)i\(\leq\)t , 0\(\leq\)m\(\lt\)t - 1)

\(a^{i * t - b} \equiv b\) (mod p)

\(({a^t})^i \equiv b * a^m\) (mod p)

我们建立一个map,将b * \(a^0\) ~ b * \(a^{t - 1}\) 全部推进去，将值与指数建立映射关系，然后再枚举i，递推算出左式，判断map中是否有值，如果有值则返回答案ans = i * t - map[val]

时间复杂度O(\(\sqrt p\))

inline int BSGS(int a,int b,int p)//a ^ x = b (% p)

{

	map <int,int> q;

	int t = sqrt(p);

	for(int i = 0;i <= t - 1;i++)

		q[(1ll * ksm(a,i,p) * b % p)] = i;

	int c = ksm(a,t,p);

	for(int i = 1;i <= t;i++)

	{

		int now = ksm(c,i,p);

		if(q.find(now) != q.end())

		{

			int x = q[now];

			return i * t - x;

		}

	}

	return -1;

}

exBSGS

那么如果a，p不互质呢？

设d = gcd(a,p);

对于一个同余方程\(a^x \equiv b\) (mod p)

我们可以把它转化成二元一次不定方程的形式 \(a^x\) + py = b

给a分离系数得到 a\(a^{x-1}\) + py = b

想办法消去d，\(\frac ad a^{x-1} + \frac pd y = \frac bd\)

多次迭代，直到d = 1，可以得到以下柿子

\(\frac a{d_1d_2...d_k} a^{x-k} + \frac p{d_1d_2...d_k} y = \frac b{d_1d_2...d_k}\)

转化为原式 \(\frac a{d_1d_2...d_k} a^{x-k} \equiv \frac b{d_1d_2...d_k}\) \(mod (\frac p{d_1d_2...d_k})\)

记录一个变量r = \(\frac a{d_1d_2...d_k} a^{x-k}\)，每次迭代时累乘上\(\frac a{d_i}\)

把r移向同余号右侧，那么我们就得到了一个标准的BSGS，但是同余运算中不能左右同除，于是我们用exgcd算出r关于\(\frac p{d_1d_2...d_k}\)的逆元，然后两边同乘以逆元，在跑一边BSGS即可

Code

#include<bits/stdc++.h>

#include<ext/pb_ds/assoc_container.hpp>

#include<ext/pb_ds/hash_policy.hpp>

typedef long long ll;

using namespace std;

inline int ksm(ll base,int pts,int mod)

{

	ll ans = 1;

	for(;pts > 0;pts >>= 1,base = 1ll * base * base % mod)

		if(pts & 1)

			ans = ans * base % mod;

	return ans;

}

inline int BSGS(int a,ll b,int p)//a ^ x = b (% p)

{

	__gnu_pbds::gp_hash_table <ll,int> q;

	b %= p;

	int t = ceil(sqrt(p));

	for(int i = 0;i <= t;i++)

		q[(ksm(a,i,p) * b % p)] = i;

	ll c = ksm(a,t,p),now = 1;

	for(int i = 1;i <= t;i++)

	{

		now = now * c % p;

		if(q.find(now) != q.end())

		{

			int x = q[now];

			return (i * t - x + p) % p;

		}

	}

	return -1;

}

inline int exgcd(ll &x,int &y,int a,int b)

{

	if(b == 0)

	{

		x = 1;

		y = 0;

		return a;

	}

	int ret = exgcd(x,y,b,a % b);

	int k = y;

	y = x - (a / b) * y;

	x = k;

	return ret;

}

inline int gcd(int a,int b)

{

	if(b == 0) return a;

	return gcd(b,a % b);

}

ll ot = 1;

inline int exBSGS(int a,int b,int p)

{

	if(ot == b) return 0;

	int x,y;

	int d = gcd(a,p);

	if(d == 1)

	{

		ll inv;

		exgcd(inv,y,ot,p);

		inv = ((inv % p) + p) % p;

		return BSGS(a,(1ll * inv * b) % p,p);

	}

	if(b % d != 0) return -1;

	ot = ot * (a / d) % (p / d);

	int ret = exBSGS(a,b / d,p / d);

	if(ret == -1) return -1;

	return ret + 1;

}

signed main()

{

	int a,p,b;

	scanf("%d%d%d",&a,&p,&b);

	while(a || p || b)

	{

		a %= p;b %= p;

		if(b == 1 || p == 1)

		{

			puts("0");

			scanf("%d%d%d",&a,&p,&b);

			continue;

		}

		ot = 1;

		int k = exBSGS(a,b,p);

		if(k == -1)

			printf("No Solution\n");

		else

			printf("%lld\n",k);

		scanf("%d%d%d",&a,&p,&b);

	}

	return 0;

}

语法tip:

C++中有一种比map 和 unordered_map更快的hash映射gp_hash_table，用法和普通map相同

头文件

#include<ext/pb_ds/assoc_container.hpp>

#include<ext/pb_ds/hash_policy.hpp>

命名空间

using namespace __gnu_pbds

定义hash

(__gnu_pbds::)gp_hash_table <int,int> q;

巴特西

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2023.1.16 [模板]BSGS/exBSGS

算法流程

exBSGS

Code

语法tip:

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