【题解】[APIO2010]特别行动队

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题目大意：一段区间的贡献是\(ax^2+bx+c,x=\sum v\),求一个划分让总区间的价值最大。分段必须连续。

\(\text{Solution:}\)

设计\(dp[i]\)表示前\(i\)个人的最佳划分价值。那么有转移：

\[dp[i]=\max_{j<i}dp[j]+a(\sum_{j+1\to i}v)^2+b(\sum_{j+1\to i}v)+c
\]

显然\(n^2\)的\(dp.\)

搞一下柿子，令\(sum_i\)表示\([1,i]\)的和。

\[dp[i]=dp[j]+a(sum[i]-sum[j])^2+b(sum[i]-sum[j])+c
\]

\[dp[i]=dp[j]+a(sum[i]^2+sum[j]^2-2sum[i]sum[j])+bsum[i]-bsum[j]+c
\]

\[dp[i]=dp[j]+asum[i]^2+asum[j]^2-2asum[i]sum[j]+bsum[i]-bsum[j]+c
\]

\[dp[j]+asum[j]^2-bsum[j]=2asum[i]sum[j]+dp[i]-c-bsum[i]-asum[i]^2
\]

此时\(y=dp[j]+asum[j]^2-bsum[j],k=2asum[i],x=sum[j],b=dp[i]-c-bsum[i]-asum[i]^2\)最大化截距维护上凸壳即可。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long

int n,A,B,C,sum[2000010],v[2000010];

int tail,head,q[2000010],dp[2000010];

int Y(int x){return dp[x]+A*sum[x]*sum[x]-B*sum[x];}

int X(int x){return sum[x];}

long double slope(int x,int y){return (long double)(Y(y)-Y(x))/(X(y)-X(x));}

int cost(int i,int j){return A*(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j])+B*(sum[i]-sum[j])+C;}

signed main(){

	/*

	dp[j]+Asum[j]^2-Bsum[j]=2Asum[i]sum[j]+dp[i]-Asum[i]^2-Bsum[i]-C

	y=dp[j]+Asum[j]^2-Bsum[j],k=2Asum[i],x=sum[j],b=dp[i]-Asum[i]^2-Bsum[i]-C

	*/

	scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&A,&B,&C);

	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%lld",&v[i]),sum[i]=sum[i-1]+v[i];

	head=tail=1;q[head]=0;

	for(int i=1;i<=n;++i){

		while(head<tail&&slope(q[head],q[head+1])>=2.0*A*sum[i])head++;

		dp[i]=dp[q[head]]+cost(i,q[head]);

		while(head<tail&&slope(q[tail-1],q[tail])<=slope(q[tail-1],i))tail--;

		q[++tail]=i;

	}

	printf("%lld\n",dp[n]);

	return 0;

}

值得一提的是，原本在写进队出队判断的时候带上等于是错的，后来发现是精度被卡了。所以尽量用\(\text{long double.}\)

巴特西

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