HDU 6900 Residual Polynomial【分治 NTT】

HDU 6900 Residual Polynomial

题意：

给出一个多项式\(f_1(x) = \sum_{i=0}^na_ix^i\)

对于任意\(i>=2\)，满足\(f_i(x) = b_i(f_{i-1}(x))'+c_if_{i-1}(x)\)

要求得到\(f_n(x)\)的各次项系数模\(998244353\)

\(n\le 10^5, 0\leq a_i,b_i,c_i < 998244353\)

题解：

考虑把\(f_1,f_2,\cdots,f_n\)写成\(n\)列，其中\(f_{ij}\)表示\(f_i\)的\(j\)次项的系数：

\[\begin{array}{cccc} f_{1,0} & f_{2,0} & f_{3,0} & \cdots & f_{n0,} \\\ f_{1,1} & f_{2,1} & f_{3,1} & \cdots & f_{n,1}\\\ \vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\\ f_{1,n} & f_{2,n} & f_{3,n} & \cdots & f_{n,n} \end{array}
\]

其中\(f_{1,i}=a_i\)

考虑类似\(dp\)的状态转移，那么可以发现，对于\(f_{ij}\)存在两种转移：

\[\begin{cases} f_{i,j}\stackrel{c_{i+1}}{\longrightarrow}f_{i+1,j} & i<n \\\ f_{i,j}\stackrel{j\cdot b_{i+1}}{\longrightarrow} f_{i+1,j-1} & i<n , j>0 \end{cases}
\]

其中箭头表示乘自身然后加到右边

那么如果把转移看作边，可以发现每个状态（除了边界）向右连了一条边，向右上连了一条边

我们来考虑\(f_{1,i}\)对\(f_{n,j}\)的贡献，其中\(i\ge j\)，可以发现\(dp\)的转移其实就是一条条从\(f_{1,i}\)到\(f_{n,j}\)的路径，那么显然可以把所有路径单独分开来看，那么\(f_{1,i}\)对\(f_{n,j}\)的贡献为：\(f_{1,i}\cdot \sum (\prod \operatorname{pathvalue})\)，也就是从\(f_{1,i}\)到\(f_{n,j}\)的所有可行路径的边权乘积的和

先不考虑第二类转移中\(j\cdot b_{i+1}\)的\(j\)，那么对于任何转移\(f_{1,i}\rightarrow f_{n,j}\)，其实就是对于每个\(2\le k\le n\)，选择\(b_k\)或者\(c_k\)，其中\(b_k\)选择\(i-j\)个，\(c_k\)选择\(n-1-(i-j)\)个，乘起来然后再把所有方案加起来

我们令选\(x\)个\(b_k\)和\(n-1-x\)个\(c_k\)的所有方案的和为\(F(x)\)，那么\(F(x)\)是可以用分治+\(FFT\)来得到

令\(F(l,r,x)\)表示在区间\([l,r)\)中选\(x\)个\(b_k\)的所有方案的和，那么可以得到\(F(l,r,x)=\sum_{i+j=x}F(l,mid,i)\cdot F(mid,r,j)\)，其中\(mid = \lfloor \frac{l+r}2\rfloor\)

再算上之前没考虑的\(j\)的贡献乘积，可以得到\(f_{n,j}=\sum_{i-k=j}F(k)\cdot f_{1,i}\cdot \frac{(i-1)!}{(j-1)!}\)

考虑把数组反向，也就是\(f_{i,j}\)和\(f_{i,n-j}\)互换，那么就可以得到\(f_{n,j} = \sum_{i+k=j}F(k)\cdot f_{1,i}\cdot \frac{j!}{i!} = j!\sum_{i+k=j}F(k)\cdot \frac{f_{1,i}}{i!}\)

那么就可以再做一次\(FFT\)就能得到答案了

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//#pragma GCC optimize("O3")

//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

function<void(void)> ____ = [](){ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);};

const int MOD = 998244353;

const int FFTN = 1<<19;

const int MAXN = 2e5+7;

#define poly vector<int>

typedef unsigned long long int ull;

int ksm(int a, int b){

    int ret = 1;

    while(b){

        if(b&1) ret = 1ll * ret * a % MOD;

        b >>= 1;

        a = 1ll * a * a % MOD;

    }

    return ret;

}

namespace FFT{

    int w[FFTN+5],W[FFTN+5],R[FFTN+5];

    void FFTinit(){

        W[0]=1;

        W[1]=ksm(3,(MOD-1)/FFTN);

        for(int i = 2; i <= FFTN; i++) W[i]=1ll*W[i-1]*W[1]%MOD;

    }

    int FFTinit(int n){

        int L=1;

        for (;L<=n;L<<=1);

        for(int i = 0; i <= L - 1; i++) R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)?(L>>1):0);

        return L;

    }

    int A[FFTN+5],B[FFTN+5];

    ull p[FFTN+5];

    void DFT(int *a,int n){

        for(int i = 0; i < n; i++) p[R[i]]=a[i];

        for(int d = 1; d < n; d <<= 1){

            int len=FFTN/(d<<1);

            for(int i = 0, j = 0; i < d; i++, j += len) w[i]=W[j];

            for(int i = 0; i < n; i += (d<<1))

                for (int j = 0; j < d; j++){

                    int y=p[i+j+d]*w[j]%MOD;

                    p[i+j+d]=p[i+j]+MOD-y;

                    p[i+j]+=y;

                }

            if (d==1<<15)

                for(int i = 0; i < n; i++) p[i]%=MOD;

        }

        for(int i = 0; i < n; i++) a[i]=p[i]%MOD;

    }

    void IDFT(int *a,int n){

        for(int i = 0; i < n; i++) p[R[i]]=a[i];

        for (int d=1;d<n;d<<=1){

            int len=FFTN/(d<<1);

            for (int i=0,j=FFTN;i<d;i++,j-=len) w[i]=W[j];

            for (int i=0;i<n;i+=(d<<1))

                for (int j=0;j<d;j++){

                    int y=p[i+j+d]*w[j]%MOD;

                    p[i+j+d]=p[i+j]+MOD-y;

                    p[i+j]+=y;

                }

            if (d==1<<15)

                for(int i = 0; i < n; i++) p[i]%=MOD;

        }

        int val=ksm(n,MOD-2);

        for(int i = 0; i < n; i++) a[i]=p[i]*val%MOD;

    }

    poly Mul(const poly &a,const poly &b){

        int sza=a.size()-1,szb=b.size()-1;

        poly ans(sza+szb+1);

        if (sza<=30||szb<=30){

            for(int i = 0; i <= sza; i++) for(int j = 0; j <= szb; j++)

                ans[i+j]=(ans[i+j]+1ll*a[i]*b[j])%MOD;

            return ans;

        }

        int L=FFTinit(sza+szb);

        for(int i = 0; i < L; i++) A[i]=(i<=sza?a[i]:0);

        for(int i = 0; i < L; i++) B[i]=(i<=szb?b[i]:0);

        DFT(A,L); DFT(B,L);

        for(int i = 0; i < L; i++) A[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD;

        IDFT(A,L);

        for(int i = 0; i <= sza + szb; i++) ans[i]=A[i];

        return ans;

    }

}

int fac[MAXN], rfac[MAXN], inv[MAXN];

poly divide(int l, int r, vector<int> &B, vector<int> &C){ return l + 1 == r ? poly({C[l],B[l]}) : FFT::Mul(divide(l,(l+r)>>1,B,C), divide((l+r)>>1,r,B,C)); }

void solve(){

    int n; scanf("%d",&n);

    vector<int> A(n+1), B(n-1), C(n-1);

    for(int &x : A) scanf("%d",&x);

    for(int &x : B) scanf("%d",&x);

    for(int &x : C) scanf("%d",&x);

    poly f = divide(0,n-1,B,C);

    reverse(A.begin(),A.end());

    for(int i = 0; i <= n; i++) A[i] = 1ll * A[i] * fac[n-i] % MOD;

    poly W = FFT::Mul(A,f);

    for(int i = 0; i <= n; i++) W[i] = 1ll * W[i] * rfac[n-i] % MOD;

    for(int i = n; i >= 0; i--) printf("%d%c",W[i]," \n"[!i]);

}

int main(){

    fac[0] = rfac[0] = inv[1] = 1;

    for(int i = 1; i < MAXN; i++) fac[i] = 1ll * fac[i-1] * i % MOD;

    for(int i = 2; i < MAXN; i++) inv[i] = 1ll * (MOD - MOD / i) * inv[MOD % i] % MOD;

    for(int i = 1; i < MAXN; i++) rfac[i] = 1ll * rfac[i-1] * inv[i] % MOD;

    FFT::FFTinit();

    int tt; for(scanf("%d",&tt); tt--; solve());

    return 0;

}

巴特西

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