正题

题目大意

一张随机的\(n\)个点的竞赛图，给出它的\(m\)条相互无交简单路径，求这张竞赛图的期望强联通分量个数。

\(1\leq n,m\leq 10^5\)

解题思路

先考虑\(m=0\)的做法，此时我们考虑一个强联通块的贡献，注意到竞赛图中强联通块的会构成一条链的形式，枚举一个大小\(S\)，那么此时联通块内到联通块外的边方向确定，那么这个联通块产生贡献的的概率就是\(\frac{1}{2}^{S(n-S)}\)，选出这个联通块的方案就是\(\binom{n}{i}\)。

那么答案就是

\[\sum_{i=1}^n\frac 1 2^{S(n-S)}\binom{n}{i}
\]

考虑包含给出路径的情况，因为无交，所以点的编号不影响答案，只有路径长度影响方案。

考虑一条路径对一个强联通分量造成的贡献，考虑如果一条链的一半在这个块内，一条在这个块外，那么就会确定一条边的方案。所以除数要除以\(2\)。

把单点看成链的话，那么一个块由多条链组成，对于每条链构建一个形如

\[1+2x+2x^2+...+2x^{l-1}+x^{l-1}
\]

的多项式，然后跑分治\(NTT\)乘起来再用上面的式子做就好了。

时间复杂度\(O(n\log^2 n)\)

code

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<cctype>

#define ll long long

using namespace std;

const ll N=4e5+10,T=20,P=998244353;

struct Poly{

	ll a[N],n;

}F[T];

ll n,m,a[N],r[N],x[N],y[N];

bool v[T];

ll read(){

	ll x=0,f=1;char c=getchar();

	while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}

	while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}

	return x*f;

}

ll power(ll x,ll b){

	ll ans=1;

	while(b){

		if(b&1)ans=ans*x%P;

		x=x*x%P;b>>=1;

	}

	return ans;

}

void NTT(ll *f,ll n,ll op){

	for(ll i=0;i<n;i++)

		if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);

	for(ll p=2;p<=n;p<<=1){

		ll tmp=power(3,(P-1)/p),len=p>>1;

		if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);

		for(ll k=0;k<n;k+=p){

			ll buf=1;

			for(ll i=k;i<k+len;i++){

				ll tt=buf*f[i+len]%P;

				f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;

				f[i]=(f[i]+tt)%P;

				buf=buf*tmp%P;

			}

		}

	}

	if(op==-1){

		ll invn=power(n,P-2);

		for(ll i=0;i<n;i++)

			f[i]=f[i]*invn%P;

	}

	return;

}

void Mul(Poly &F,Poly &G){

	ll n=1;

	while(n<F.n+G.n)n<<=1;

	for(ll i=0;i<F.n;i++)x[i]=F.a[i];

	for(ll i=0;i<G.n;i++)y[i]=G.a[i];

	for(ll i=F.n;i<n;i++)x[i]=0;

	for(ll i=G.n;i<n;i++)y[i]=0;

	for(ll i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);

	NTT(x,n,1);NTT(y,n,1);

	for(ll i=0;i<n;i++)x[i]=x[i]*y[i]%P;

	NTT(x,n,-1);

	for(ll i=0;i<n;i++)F.a[i]=x[i];

	F.n=F.n+G.n-1;return;

}

ll Find(){

	for(ll i=0;i<T;i++)

		if(!v[i]){v[i]=1;return i;}

}

ll Solve(ll l,ll r){

	if(l==r){

		ll p=Find();F[p].a[0]=1;F[p].a[a[l]]=1;

		for(ll i=1;i<a[l];i++)F[p].a[i]=2;

		F[p].n=a[l]+1;return p;

	}

	ll mid=(l+r)>>1;

	ll ls=Solve(l,mid),rs=Solve(mid+1,r);

	Mul(F[ls],F[rs]);v[rs]=0;

	return ls;

}

signed main()

{

	freopen("graph.in","r",stdin);

	freopen("graph.out","w",stdout);

	n=read();m=read();

	ll sum=n,ans=0;

	for(ll i=1;i<=m;i++){

		a[i]=read();sum-=a[i];

		for(ll j=1,x;j<=a[i];j++)x=read();

	}

	while(sum)

		a[++m]=1,sum--;

	ll p=Solve(1,m);

	for(ll i=0;i<n;i++)

		(ans+=F[p].a[i]*power((P+1)/2,i*(n-i))%P)%=P;

	printf("%lld\n",ans);

	return 0;

}

巴特西

[gdoi2018 day1]小学生图论题【分治NTT】

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