正题

题目链接:https://www.ybtoj.com.cn/contest/114/problem/1

题目大意

给出\(n\)个点\(m\)条边的一张无向图，对于每个点\(i\)求不经过\(i\sim 1\)的最短路的第一条边的情况下\(i\)到\(1\)的最短路

数据保证这条边唯一

\(n\in[1,10^5],m\in[1,2\times 10^5],c\in[1,10^3]\)

解题思路

因为保证的那个东西，所以图的最短路树真的是一棵树了，所以先跑出最短路树考虑在最短路树上面搞。

然后题目限制了我们不能从树上的祖先那条边过来，这样就分为了两种情况。一种是从该点的子树外面连过来的边，另一种是从子树中走上来的边。第二种很麻烦，因为子树的最短路是用该节点的最短路扩展的，所以不能直接使用。

考虑一条非树边\((x,y)\)，这条边会扩展一条\(dis_y+w\)到\(x\)的路径。（\(dis_x\)表示\(1\sim x\)的最短路）。

并且这条边可以使用到\(LCA(x,y)\)处，此时\(x\)的祖先们都不包含\(y\)在子树内，可以直接用\(y\)的子树扩展。

所以可以维护一个左偏树，每次合并两个儿子的信息，如果堆顶的边需要被删除就删除。需要写一个\(lazy\)标记来修改整棵树

时间复杂度\(O(n\log n)\)

code

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<queue>

#include<vector>

#define mp(x,y) make_pair(x,y)

using namespace std;

const int N=4e5+10;

struct point{

	int val,x,y;

	point(int v=0,int xx=0,int yy=0)

	{val=v;x=xx;y=yy;return;}

};

bool operator<(point x,point y)

{return x.val<y.val;}

struct Heap{

	point val[N];

	int t[N][2],lazy[N],dis[N];

	void Downdata(int x){

		if(!lazy[x])return;

		int ls=t[x][0],rs=t[x][1];

		lazy[ls]+=lazy[x];lazy[rs]+=lazy[x];

		val[ls].val+=lazy[x];val[rs].val+=lazy[x];

		lazy[x]=0;return;

	}

	int Merge(int x,int y){

		Downdata(x);Downdata(y);

		if(!x||!y)return x+y;

		if(val[y]<val[x])swap(x,y);

		int &ls=t[x][0],&rs=t[x][1];

		rs=Merge(rs,y);

		if(dis[rs]>dis[ls])swap(ls,rs);

		dis[x]=dis[rs]+1;return x;

	}

	int Del(int x){

		int &ls=t[x][0],&rs=t[x][1];val[x]=0;

		return Merge(ls,rs);

	}

}T;

struct node{

	int to,next,w;

}a[N];

int n,m,tot,cnt,num,ls[N],f[N];

int rfn[N],p[N],ans[N];

bool v[N];vector<int> G[N];

priority_queue<pair<int,int> >q;

void addl(int x,int y,int w){

	a[++tot].to=y;

	a[tot].next=ls[x];

	ls[x]=tot;a[tot].w=w;

	return;

}

void dij(){

	memset(f,0x3f,sizeof(f));

	q.push(mp(0,1));f[1]=0;

	while(!q.empty()){

		int x=q.top().second;q.pop();

		if(v[x])continue;v[x]=1;

		for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){

			int y=a[i].to;

			if(f[x]+a[i].w<f[y]){

				f[y]=f[x]+a[i].w;

				q.push(mp(-f[y],y));

			}

		}

	}

	return;

}

void dfs(int x){

	rfn[x]=++cnt;

	for(int i=0;i<G[x].size();i++){

		int y=G[x][i];dfs(y);

		T.val[p[y]].val+=f[y]-f[x];

		T.lazy[p[y]]+=f[y]-f[x];

		p[x]=T.Merge(p[x],p[y]);

	}

	for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){

		int y=a[i].to;

		if(f[x]+a[i].w==f[y])continue;

		if(f[y]+a[i].w==f[x])continue;

		T.val[++num]=point(f[y]+a[i].w,x,y);

		p[x]=T.Merge(p[x],num);

	}

	while(1){

		if(!p[x]){ans[x]=-1;break;}

		point w=T.val[p[x]];

		if(rfn[w.y]>=rfn[x])

		{p[x]=T.Del(p[x]);continue;}

		ans[x]=w.val;break;

	}

	return;

}

int main()

{

	freopen("pal.in","r",stdin);

	freopen("pal.out","w",stdout);

	scanf("%d%d",&n,&m);

	for(int i=1;i<=m;i++){

		int x,y,w;

		scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);

		addl(x,y,w);addl(y,x,w);

	}

	dij();

	for(int x=1;x<=n;x++)

		for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){

			int y=a[i].to;

			if(f[x]+a[i].w==f[y])

				G[x].push_back(y);

		}

	dfs(1);

	for(int i=2;i<=n;i++)

		if(!ans[i])puts("-1");

		else printf("%d\n",ans[i]);

	return 0;

}

巴特西

YbtOJ#631-次短路径【左偏树,最短路】

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