Codeforces 351B Jeff and Furik:概率 + 逆序对【结论题 or dp】
2024-09-03 01:11:46
题目链接:http://codeforces.com/problemset/problem/351/B
题意:
给你一个1到n的排列a[i]。
Jeff和Furik轮流操作,Jeff先手。
Jeff每次会交换a[i]>a[i+1]的两个数。
Furik每次有1/2的概率交换a[i]<a[i+1]的两个数,有1/2的概率交换a[i]>a[i+1]的两个数。
当这个排列变成升序时,游戏停止。
问你操作数的期望。
题解:
假设原序列中有t个逆序对。
那么将这个序列变成升序,就是将这t个逆序对一个个消除。
Jeff每次会减少一个逆序对。
Furik每次有1/2概率增加一个逆序对,有1/2概率减少一个逆序对。
加起来就是:每两次操作,有1/2概率减少两个逆序对,有1/2概率不变。
也就是:每两次操作,一定会减少一个逆序对。
然而在最后一个回合中,有可能Jeff操作完后,游戏就已经结束了,不用Furik再操作。
当且仅当逆序对个数t为奇数时,上面的情况成立,操作数-1。
所以最终答案为:t*2 - (t&1)
另外这道题也可以递推求期望,通项公式就是上面这个,原理一样的。
还有保留6位小数什么的,不存在的,重点是求逆序对QAQ……
AC Code:
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 3005
#define INF 1000000000 using namespace std; int n,t=;
int a[MAX_N];
int l[MAX_N];
int r[MAX_N]; void merge(int lef,int mid,int rig)
{
int n1=mid-lef+;
int n2=rig-mid;
for(int i=;i<n1;i++) l[i]=a[lef+i];
for(int i=;i<n2;i++) r[i]=a[mid+i+];
l[n1]=r[n2]=INF;
for(int i=,j=,k=lef;k<=rig;k++)
{
if(l[i]<=r[j]) a[k]=l[i++];
else a[k]=r[j++],t+=n1-i;
}
} void merge_sort(int lef,int rig)
{
if(lef==rig) return;
int mid=(lef+rig)>>;
merge_sort(lef,mid);
merge_sort(mid+,rig);
merge(lef,mid,rig);
} int main()
{
cin>>n;
for(int i=;i<n;i++) cin>>a[i];
merge_sort(,n-);
cout<<t*-(t&)<<".000000"<<endl;
}
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