[hdu4372]counting buildings
2024-10-15 11:36:41
解题关键:
n的环排列的个数与n-1个元素的排列的个数相等。
首先可以肯定,无论从最左边还是从最右边看,最高的那个楼一定是可以看到的,从这里入手。
假设最高的楼的位置固定,最高楼的编号为n,那么我们为了满足条件,可以在楼n的左边分x-1组,右边分y-1组,且用每组最高的那个元素代表这一组,那么楼n的左边,从左到右,组与组之间最高的元素一定是单调递增的,且每组中的最高元素一定排在该组的最左边,每组中的其它元素可以任意排列(相当于这个组中所有元素的环排列)。右边反之亦然。
最高的那个楼左边一定有x-1个组,右边一定有y-1个组,且每组是一个环排列,这就引出了第一类Stirling数($n$个人分成$k$组,每组内再按特定顺序围圈的分组方法的数目)。我们可以先把n-1个元素分成x-1+y-1组,然后每组内部做环排列。再在所有组中选取x-1组放到楼n的左边。所以答案是Stirling[n-1][x-1+y-1]*C[x-1+y-1][x-1](组合数);
预处理$O(N^2)$。对于每组询问$O(1)$解决。
第一类stirling数是环之间是无顺序的
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=;
const int mod=1e9+;
ll comb1[maxn][maxn],stir[maxn][maxn];//2w*2w会爆掉
void init1(){
comb1[][]=stir[][]=;
for(int i=;i<maxn;i++){
comb1[i][i]=comb1[i][]=;
stir[i][]=;stir[i][i]=;
for(int j=;j<i;j++){
comb1[i][j]=(comb1[i-][j-]+comb1[i-][j])%mod;
stir[i][j]=((i-)*stir[i-][j]+stir[i-][j-])%mod;
}
}
} int main(){
int t,f,b,n;
init1();
cin>>t;
while(t--){
cin>>n>>f>>b;
ll ans=;
if(f+b-<=) ans=(1ll*stir[n-][b+f-]*comb1[b+f-][b-]+mod)%mod;
else ans=;
cout<<ans<<"\n";
}
return ;
}
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