[BZOJ2190&BZOJ2705]欧拉函数应用两例
2024-10-21 09:13:41
欧拉函数phi[n]是表示1~n中与n互质的数个数。
可以用公式phi[n]=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)...*(1-1/pk)来表示。(p为n的质因子)
求phi[p]的过程:
procedure calc(p:longint;var sum:longint);
var i:longint;
begin
sum:=p;
for i:= to trunc(sqrt(p)) do
if p mod i= then
begin
sum:=sum div i*(i-);
while p mod i= do p:=p div i;
// 保证每次都是质因子
end;
if p<> then sum:=sum div p*(p-);
// 如果p自身是质数的情况
end;
BZOJ2190
直接套用即可,不处理1的情况最后加上3。需要注意的是读进来的方阵大小应该-1。
直接贴代码。
program bzoj2190;
const maxn=;
var n,i,ans:longint;
phi:array[-..maxn]of longint;
procedure calc(p:longint;var sum:longint);
var i:longint;
begin
sum:=p;
for i:= to trunc(sqrt(p)) do
if p mod i= then
begin
sum:=sum div i*(i-);
while p mod i= do p:=p div i;
end;
if p<> then sum:=sum div p*(p-);
end; begin
readln(n);dec(n);
for i:= to n do calc(i,phi[i]);
ans:=;
for i:= to n do inc(ans,phi[i]);
if n<> then writeln(ans*+) else writeln();
end.
BZOJ 2705
刚开始看可能无从下手。但是再看一眼会发现,如果枚举某个数与n的最大公约数,再求出这样的数有多少的话可能就有方法处理了。
我们来思考有多少个数与n的最大公约数是x,不难想出,当这个数/x,n/x的时候两数互质。也就是其个数=phi[n/x]!
所以只需要枚举所有的最大公约数(枚举到sqrt(n))即可。
需要注意的是如果n正好是完全平方数,sqrt(n)会被计算两次。于是特判。
另外这道题给我们一点启发:sigma(phi[n/i])(n mod i=0)=n!
虽然目前还没有发现有哪里可以应用,但是式子非常优美。。>_<
program bzoj2705;
var i:longint;
ans,n:int64; function phi(p:int64):int64;
var i:longint;
ans:int64;
begin
ans:=p;
for i:= to trunc(sqrt(p)) do if p mod i= then
begin
ans:=ans*(i-) div i;
while p mod i= do p:=p div i;
end;
if p<> then ans:=ans*(p-) div p;
exit(ans);
end; begin
//sign(input,'a.in');reset(input);
while not eof do
begin
readln(n);
ans:=;
for i:= to trunc(sqrt(n)) do if n mod i= then
begin
inc(ans,i*phi(n div i));
if i*i<>n then inc(ans,(n div i)*phi(i));
end;
writeln(ans);
end;
end.
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