【[SDOI2013]随机数生成器】

题目

来画柿子吧

我们要求的是

\[f(x)\equiv t(mod\ \ p)
\]

其中\(f(1)=x_0,f(x)=af(x-1)+b\)

我们来写几项柿子看看

\[f(1)=x_0
\]

\[f(2)=ax_0+b
\]

\[f(3)=a(ax_0+b)+b=a^2x_0+ab+b
\]

\[f(4)=a^3x_0+a^2b+ab+b
\]

我们发现好像后面就是一个等比数列求和啊

于是我们甚至可以搞出一个通项来

于是

\[f(x)=a^{x-1}x_0+b\sum_{i=0}^{x-2}a^i
\]

显然后面那个东西就是\(\frac{a^{x-1}-1}{a-1}\)

所以

\[f(x)=a^{x-1}x_0+\frac{b\times a^{x-1}-b}{a-1}
\]

干脆设\(k=x-1\)

\[f(x)=\frac{a^kx_0(a-1)+b\times a^k-b}{a-1}=\frac{a^k(ax_0-x_0+b)-b}{a-1}
\]

所以我们现在的方程是

\[\frac{a^k(ax_0-x_0+b)}{a-1}-\frac{b}{a-1}\equiv t(mod\ p)
\]

我们设

\[inv=inv(\frac{ax_0-x_0+b}{a-1},p)
\]

所以现在变成了

\[a^k\equiv (t+\frac{b}{a-1})\times inv(mod\ \ p)
\]

所以这不就是\(bsgs\)板子了吗，\(k+1\)就是答案了

注意特判掉\(a=1\)以及\(x_0=t\)的情况

代码

#include<cmath>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<iostream>

#include<algorithm>

#include<tr1/unordered_map>

#define re register

#define LL long long

using namespace std::tr1;

unordered_map<LL,LL> ma;

int T;

LL P,a,b,x0,t;

void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) {if(!b) {x=1,y=0;return;} exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;}

inline LL quick(LL a,LL b) {LL S=1;while(b) {if(b&1) S=S*a%P; b>>=1; a=a*a%P;} return S;}

inline void bsgs()

{

	if(x0==t) {puts("1");return;}

	if(a==0) {if(b==t) puts("2");else puts("-1"); return;}

	if(a==1&&!b) {puts("-1");return;}

	if(a==1&&b)

	{

		t=t-x0; t=(t%P+P)%P;

		LL x,y;

		exgcd(b,P,x,y); x=(x*t%P+P)%P;

		printf("%lld\n",x+1); return;

	}

	ma.clear();

	if(a%P==0) {puts("-1");return;}

	LL inv=(a*x0%P-x0+b)%P; inv=(inv+P)%P;

	LL x,y; exgcd(a-1,P,x,y); x=(x%P+P)%P; t=t+(b*x)%P; t%=P;inv=inv*x%P;

	exgcd(inv,P,x,y);

	x=(x%P+P)%P;

	t=t*x%P;

	LL now=1;

	LL m=ceil(std::sqrt(P+1));

	for(re int i=0;i<=m;i++) ma[now*t%P]=i,now=now*a%P;

	LL S=quick(a,m);now=S;

	for(re int i=1;i<=m;i++)

	{

		if(ma.find(now)!=ma.end())

		{LL ans=(LL)i*(LL)m-ma[now];printf("%lld\n",ans+1);return;}

		now=now*S%P;

	}

	puts("-1");

}

int main()

{

	scanf("%d",&T);

	while(T--) scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&P,&a,&b,&x0,&t),bsgs();

	return 0;

}

巴特西

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