【BZOJ1060】[ZJOI2007] 时态同步（树形DP）

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大致题意： 给你一棵带权树，每次使用道具可以将某条边的边权加\(1\)，问你至少需要使用多少次道具，才能使每个叶子节点到根节点的距离相等。

贪心的思想

首先，我们应该先有一个贪心的思想。

不难发现，如果要将以\(x\)为根节点的子树内的所有边权加上\(val\)，不如直接将\(x\)到\(fa_x\)的边权加上\(val\)更优。

这样一来就有一个基本思路：对于以\(x\)为根节点的子树，我们只需用最少的道具使每个叶节点到\(x\)的距离相等即可。

那么就可以用上 树形\(DP\) 了。

核心过程

下面稍微讲一下\(DP\)的核心转移过程。

我们可以用\(f_{i}\)来表示使以\(i\)为根节点的子树的所有叶节点到\(i\)的距离相等所用的最少道具次数，用\(g_i\)来表示此时所有叶节点到\(i\)的距离，并用一个变量\(tot\)记录当前已操作了几个叶节点。

则对于\(i\)的一个子节点\(son\)，若\(i\)与\(son\)之间的边权为\(val\)，则无非有以下两种情况：

\(g_{son}+val>g_i\)。对于这种情况，就说明之前操作过的\(tot\)个节点到\(i\)的距离全部偏小了，因此将\(f_i\)加上\(tot*(g_{son}+val-g_{i})\)，并将\(g_i\)更新为\(g_{son}\)。
\(g_{son}+val≤g_i\)。对于这种情况，我们只需将\(f_i\)加上\(g_i-g_{son}-val\)即可。

还有一个细节，就是注意每次要将\(f_i\)加上\(f_{son}\)！（不过我相信这么智障的错误除了我没人会犯）

代码

#include<bits/stdc++.h>

#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))

#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))

#define uint unsigned int

#define LL long long

#define ull unsigned long long

#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)

#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))

#define INF 1e9

#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))

#define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1))

#define N 500000

#define add(x,y,z) (e[++ee].nxt=lnk[x],++deg[e[lnk[x]=ee].to=y],e[ee].val=z)

using namespace std;

int n,rt,ee=0,lnk[N+5],deg[N+5];

struct edge

{

	int to,nxt,val;

}e[2*N+5];

class FIO

{

	private:

		#define Fsize 100000

		#define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)

		#define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))

		int f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];

	public:

		FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}

		inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}

		inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}

		inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}

		inline void write(LL x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}

		inline void write_char(char x) {pc(x);}

		inline void write_string(string x) {register int i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}

		inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}

}F;

class Class_TreeDP//树形DP

{

	private:

		LL f[N+5],g[N+5];//f[i]表示使以i为根节点的子树的所有叶节点到i的距离相等所用的最少道具次数，g[i]表示此时所有叶节点到i的距离

		inline void DP(int x,int lst)

		{

			for(register int i=lnk[x],tot=0;i;i=e[i].nxt)//变量tot记录当前已操作了几个叶节点

			{

				if(!(e[i].to^lst)) continue;

				DP(e[i].to,x),f[x]+=f[e[i].to];//对该子节点进行DP，并将f[x]加上f[e[i].to]

				if(g[e[i].to]+e[i].val>g[x]) f[x]+=1LL*tot*(g[e[i].to]+e[i].val-g[x]),g[x]=g[e[i].to]+e[i].val;//如果g[e[i].to]+e[i].val，就说明之前操作过的tot个节点到i的距离全部偏小了

				else f[x]+=1LL*g[x]-g[e[i].to]-e[i].val;//否则，直接将f[x]加上g[x]-g[e[i].to]-e[i].val即可。

				++tot;//将tot加1

			}

		}

	public:

		inline LL GetAns() {return (void)(DP(rt,0)),f[rt];}

}TreeDP;

int main()

{

    register int i,x,y,z;

    for(F.read(n),F.read(rt),i=1;i<n;++i) F.read(x),F.read(y),F.read(z),add(x,y,z),add(y,x,z);

    return F.write(TreeDP.GetAns()),F.end(),0;

}

巴特西

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