洛谷P4931 情侣？给我烧了！（加强版）（组合数学）

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题解

首先我们算出刚好有\(k\)对情侣的方案数

从\(n\)对情侣中选出\(k\)对，方案数为\({n\choose k}\)

从\(n\)排座位中选出\(k\)排，方案数为\({n\choose k}\)

情侣之间可以交换座位，方案数为\(2^k\)

座位之间可以随便排列，方案数为\(k!\)

然后我们还需要强制剩下的\(n-k\)对情侣不匹配

设\(g_i\)表示\(i\)对情侣没有一对匹配的方案数

第一排坐两个不是情侣的人的方案数有\(2n(2n-2)\)，设这两个人为\(A,B\)

然后考虑\(A,B\)的配偶，如果它们坐到了一起，那么方案数就是\(2(n-1)g_{n-2}\)，\(2\)表示它们可以交换，\((n-1)\)表示枚举哪一排

如果它们没有做到一起，那么可以看做它们组成了一对新的情侣并且强制它们不能坐到一起（\(n,ntr\)?），这一部分方案数就是\(g_{n-1}\)

综上

\[g_n=2n(2n-2)(2(n-1)g_{n-2}+g_{n-1})
\]

\[Ans={n\choose k}{n\choose k}2^kk!g_{n-k}
\]

全部都预处理出来就行了

//minamoto

#include<bits/stdc++.h>

#define R register

#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)

#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)

#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)

using namespace std;

char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;

inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}

int read(){

    R int res,f=1;R char ch;

    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);

    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');

    return res*f;

}

char sr[1<<21],z[20];int K=-1,Z=0;

inline void Ot(){fwrite(sr,1,K+1,stdout),K=-1;}

void print(R int x){

    if(K>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++K]='-',x=-x;

    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);

    while(sr[++K]=z[Z],--Z);sr[++K]='\n';

}

const int N=5e6+5,P=998244353,M=5e6;

inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}

inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}

inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}

int ksm(R int x,R int y){

	R int res=1;

	for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);

	return res;

}

int fac[N],ifac[N],inv[N],g[N],bin[N],n,k;

int main(){

//	freopen("testdata.in","r",stdin);

	fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=bin[0]=g[0]=1,bin[1]=2,g[1]=0;

	fp(i,2,M){

		bin[i]=mul(bin[i-1],2),

		fac[i]=mul(fac[i-1],i),

		g[i]=(1ll*i*(i-1)<<2)%P*(2ll*(i-1)*g[i-2]%P+g[i-1])%P;

	}

	ifac[M]=ksm(fac[M],P-2);

	fd(i,M-1,1)ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1);

	for(int T=read();T;--T){

		n=read(),k=read(),

		print(1ll*fac[n]*ifac[k]%P*ifac[n-k]%P*fac[n]%P*ifac[n-k]%P*bin[k]%P*g[n-k]%P);

	}

	return Ot(),0;

}

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