【BZOJ4555】[TJOI&HEOI2016]求和斯特林数+NTT

Description

在2016年，佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数，非常开心。

现在他想计算这样一个函数的值:

S(i, j)表示第二类斯特林数，递推公式为:

S(i, j) = j ∗ S(i − 1, j) + S(i − 1, j − 1), 1 <= j <= i − 1。

边界条件为：S(i, i) = 1(0 <= i), S(i, 0) = 0(1 <= i)

你能帮帮他吗?

Input

输入只有一个正整数

Output

输出f(n)。由于结果会很大，输出f(n)对998244353(7 × 17 × 223 + 1)取模的结果即可。1 ≤ n ≤ 100000

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Sample Output

Sol

本题递推公式没用，因为我们需要在\(nlogn\)时间内求出这个结果。

首先我们根据第二类斯特林数的定义“把i个数字分到j的相同集合的方案数”，得：

\(s(i,j)=\frac{1}{j!}*\sum_{k=0}^{j}(-1)^kC^k_j(j-k)^i\)

意义就是我们假设至少k个集合为空，然后用组合数算出选择空集的方案数，之后剩下\(j-k\)个集合，i个数字，那么方案数就是\((j-k)^i\)。但是这样不保证剩下的严格非空，所以要容斥一波。然后因为上述是有序的，而第二类斯特林数是无序的，所以要除以阶乘。

之后我们把组合数拆开，得到：

\(s(i,j)=\sum_{k=0}^{j}\frac{(-1)^k}{k!}*\frac{(j-k)^i}{(j-k)!}\)

带入所求的式子中，得到：

\(f(n)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}\sum_{k=0}^{j}\frac{(-1)^k}{k!}*\frac{(j-k)^i}{(j-k)!}\)

因为\(j>i\)的时候右面不会产生贡献，所以我们可以把j的范围写到n：

\(f(n)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n}j!2^j\sum_{k=0}^{j}\frac{(-1)^k}{k!}*\frac{(j-k)^i}{(j-k)!}\)

尽管是卷积，但是还是得\(O(n^2logn)\)，但是i只用到了一处，所以我们更换循环顺序，得：

\(f(i)=\sum_{j=0}^{n}j!2^j\sum_{k=0}^{j}\frac{(-1)^k}{k!}*\frac{\sum_{i=0}^{n}(j-k)^i}{(j-k)!}\)

那个带\(\sum\)的是个等比数列，可以\(O(1)\)计算，然后就是\(NTT\)啦。

时间复杂度\(O(nlogn)\)。

Code

#include <cstdio>

int i,j,k,I[100005],IF[100005],a[262145],b[262145],F[262145],B[100005],P=998244353,w,wn,t,n,len,ans;

int ksm(int a,int b){int res=1;for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%P) if(b&1) res=1ll*res*a%P;return res;}

void ntt(int *a,int n,int op)

{

	for(i=k=0;i<n;i++){if(i>k) a[i]^=a[k]^=a[i]^=a[k];for(j=(n>>1);(k^=j)<j;j>>=1);}

	for(k=2,wn=ksm(3,op==1?(P-1)/k:P-1-(P-1)/k);k<=n;k<<=1,wn=ksm(3,op==1?(P-1)/k:P-1-(P-1)/k))

		for(i=0,w=1;i<n;i+=k,w=1) for(j=0;j<(k>>1);j++,w=1ll*w*wn%P)

			t=1ll*a[i+j+(k>>1)]*w%P,a[i+j+(k>>1)]=(a[i+j]-t+P)%P,a[i+j]=(a[i+j]+t)%P;

	if(op==-1) for(t=ksm(n,P-2),i=0;i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*t%P;

}

int main()

{

	scanf("%d",&n);for(len=1;len<=n*2;len<<=1);

	F[0]=B[0]=I[1]=F[1]=1,B[1]=2;for(int i=2;i<=n;i++) F[i]=1ll*F[i-1]*i%P,B[i]=1ll*B[i-1]*2%P,I[i]=1ll*I[P%i]*(P-P/i)%P;

	IF[n]=ksm(F[n],P-2);for(int i=n-1;~i;i--) IF[i]=1ll*IF[i+1]*(i+1)%P;

	a[0]=b[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=(((i&1)?-1:1)*IF[i]+P)%P,a[i]=(i==1)?n+1:1ll*IF[i]*(ksm(i,n+1)-1)%P*I[i-1]%P;

	ntt(a,len,1);ntt(b,len,1);

	for(int i=0;i<len;i++) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%P;ntt(a,len,-1);

	for(int i=0;i<=n;i++) ans=(ans+1ll*B[i]*F[i]%P*a[i]%P)%P;

	printf("%d\n",ans);

}

巴特西

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