SPFA算法——最短路径

粗略讲讲SPFA算法的原理，SPFA算法是1994年西南交通大学段凡丁提出

是一种求单源最短路的算法

算法中需要用到的主要变量

int n; //表示n个点，从1到n标号

int s,t; //s为源点，t为终点

int d[N]; //d[i]表示源点s到点i的最短路

int p[N]; //记录路径（或者说记录前驱）

queue <int> q; //一个队列，用STL实现，当然可有手打队列，无所谓

bool vis[N]; //vis[i]=1表示点i在队列中 vis[i]=0表示不在队列中

几乎所有的最短路算法其步骤都可以分为两步

1.初始化

2.松弛操作

初始化： d数组全部赋值为INF（无穷大）；p数组全部赋值为s（即源点），或者赋值为-1，表示还没有知道前驱

然后d[s]=0; 表示源点不用求最短路径，或者说最短路就是0。将源点入队；

　　　　（另外记住在整个算法中有顶点入队了要记得标记vis数组，有顶点出队了记得消除那个标记）

队列+松弛操作

读取队头顶点u，并将队头顶点u出队（记得消除标记）；将与点u相连的所有点v进行松弛操作，如果能更新估计值（即令d[v]变小），那么就更新，另外，如果点v没有在队列中，那么要将点v入队（记得标记），如果已经在队列中了，那么就不用入队

以此循环，直到队空为止就完成了单源最短路的求解

SPFA可以处理负权边

定理: 只要最短路径存在，上述SPFA算法必定能求出最小值。

证明：

　　每次将点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。换言之，每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。由于我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值。因此，算法不会无限执行下去，随着d值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。（证毕）

期望的时间复杂度O(ke)，其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。

判断有无负环：

　　如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）

SPFA的两种写法，bfs和dfs，bfs判别负环不稳定，相当于限深度搜索，但是设置得好的话还是没问题的，dfs的话判断负环很快

int spfa_bfs(int s)

{

    queue <int> q;

    memset(d,0x3f,sizeof(d));

    d[s]=;

    memset(c,,sizeof(c));

    memset(vis,,sizeof(vis));

    q.push(s);  vis[s]=; c[s]=;

    //顶点入队vis要做标记，另外要统计顶点的入队次数

    int OK=;

    while(!q.empty())

    {

        int x;

        x=q.front(); q.pop();  vis[x]=;

        //队头元素出队，并且消除标记

        for(int k=f[x]; k!=; k=nnext[k]) //遍历顶点x的邻接表

        {

            int y=v[k];

            if( d[x]+w[k] < d[y])

            {

                d[y]=d[x]+w[k];  //松弛

                if(!vis[y])  //顶点y不在队内

                {

                    vis[y]=;    //标记

                    c[y]++;      //统计次数

                    q.push(y);   //入队

                    if(c[y]>NN)  //超过入队次数上限，说明有负环

                        return OK=;

                }

            }

        }

    }

    return OK;

}

int spfa_dfs(int u)

{

    vis[u]=;

    for(int k=f[u]; k!=; k=e[k].next)

    {

        int v=e[k].v,w=e[k].w;

        if( d[u]+w < d[v] )

        {

            d[v]=d[u]+w;

            if(!vis[v])

            {

                if(spfa_dfs(v))

                    return ;

            }

            else

                return ;

        }

    }

    vis[u]=;

    return ;

}

巴特西

SPFA算法——最短路径

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