NYOJ 42 一笔画问题（并查集+欧拉回路）

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描述

zyc从小就比较喜欢玩一些小游戏，其中就包括画一笔画，他想请你帮他写一个程序，判断一个图是否能够用一笔画下来。

规定，所有的边都只能画一次，不能重复画。

输入

第一行只有一个正整数N(N<=10)表示测试数据的组数。每组测试数据的第一行有两个正整数P,Q(P<=1000,Q<=2000)，分别表示这个画中有多少个顶点和多少条连线。（点的编号从1到P）随后的Q行，每行有两个正整数A,B(0<A,B<P)，表示编号为A和B的两点之间有连线。
输出

如果存在符合条件的连线，则输出"Yes",如果不存在符合条件的连线，输出"No"。
样例输入

2

4 3

1 2

1 3

1 4

4 5

1 2

2 3

1 3

1 4

3 4
样例输出

No

Yes

分析：

如果要想能够一笔画出来，这个图肯定是一个连通图，就是说所有的点都连在一块，如果用并查集的思想理解的话就是所有的点有一个共同的父节点。

然后就是要满足欧拉回路的思想：

欧拉图：节点度数全部为偶数；半欧拉图：有且只有两个度数为奇数的节点，这两种图都可以一笔画出，也就是说节点度为奇数的应该有0个或2个。

补充一下有向图的无向图的欧拉图：

1.无向连通图G是欧拉图，当且仅当G不含奇数度结点(G的所有结点度数为偶数)；

2.无向连通图G含有欧拉通路，当且仅当G有零个或两个奇数度的结点；

3.有向连通图D是欧拉图，当且仅当该图为连通图且D中每个结点的入度=出度

4.有向连通图D含有欧拉通路，当且仅当该图为连通图且D中除两个结点外，其余每个结点的入度=出度，且此两点满足deg－(u)－deg+(v)=±1。（起始点s的入度=出度-1，结束点t的出度=入度-1 或两个点的入度=出度）

代码：

#include<stdio.h>

#include<string.h>

#include<iostream>

using namespace std;

int parent[1001];

int du[1001];

int n,m;

void init()

{

    for(int i=1; i<=n; i++)

        parent[i]=i;

    memset(du,0,sizeof(du));

}

int Find(int x)

{

    if(x==parent[x])

        return x;

    else

        return parent[x]=Find(parent[x]);

}

void He(int a,int b)

{

    int x=Find(a);

    int y=Find(b);

    if(x!=y)

        parent[x]=y;

}

int main()

{

    int T,a,b;

    scanf("%d",&T);

    while(T--)

    {

        scanf("%d%d",&n,&m);

        init();

        while(m--)

        {

            scanf("%d%d",&a,&b);

            du[a]++;///每个点的度都应该加

            du[b]++;

            He(a,b);///并查集将两个点合并起来

        }

        int sum=0,data=0;

        for(int i=1; i<=n; i++)

        {

            if(parent[i]==i)///找出父节点是本身的所有点

                sum++;

            if(du[i]&1)///度为奇数的节点个数

                data++;

        }

        // cout<<"sum==="<<sum<<endl;

        if(sum>1)///没有将所有的点联通起来

        {

            printf("No\n");

            continue;

        }

        //cout<<data<<"   data--"<<endl;

        if(data==0||data==2)///满足度为奇数的点的个数是0或2

            printf("Yes\n");

        else

            printf("No\n");

    }

    return 0;

}

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