最小割Stoer-Wagner算法
最小割Stoer-Wagner算法
割:在一个图G(V,E)中V是点集,E是边集。在E中去掉一个边集C使得G(V,E-C)不连通,C就是图G(V,E)的一个割;
最小割:在G(V,E)的所有割中,边权总和最小的割就是最小割。
求G的任意s-t最小割Min-C(s,t):
设s,t是途中的两个点且边(s,t)∈E(即s,t之间存在一条边)。如果G的最小割Cut把G分成M,N两个点集
①:如果s∈M,t∈N则Min-C(s,t)= Cut(不讨论)
②:如果s,t∈M(或者s,t∈N)则Min-C(s,t)<= Cut
我们来定义一个Contract(a,b)操作,即把a,b两个点合并,表示为删除节点b,把b的节点信息添加到a上,如下图是做了Contract(5,6)
对于所点v有w(v,5)+=w(v,6)
求s-t最小割的方法
定义w(A,x) = ∑w(v[i],x),v[i]∈A
定义Ax为在x前加入A的所有点的集合(不包括x)
1.令集合A={a},a为V中任意点
2.选取V-A中的w(A,x)最大的点x加入集合
3.若|A|=|V|,结束,否则更新w(A,x),转到2
令倒数第二个加入A的点为s,最后一个加入A的点为t,则s-t最小割为w(At,t)
以Poj (pku) 2914 Minimum Cut
的第三个case为例,图为
G(V,E)
我们设法维护这样的一个w[],初始化为0;
我们把V-A中的点中w[i]最大的点找出来加入A集合;
V-A直到为空
w[]的情况如下
w[i] |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
初始值 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
A=A∪{0} |
--- |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
A=A∪{1} |
--- |
2 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
A=A∪{2} |
--- |
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
||
A=A∪{3} |
--- |
1 |
0 |
0 |
1 |
|||
A=A∪{4} |
--- |
1 |
1 |
2 |
||||
A=A∪{7} |
2 |
2 |
--- |
|||||
A=A∪{5} |
--- |
3 |
||||||
A=A∪{6} |
--- |
每次w[i]+=∑(i,a)的权值a∈A
记录最后加入A的节点为t=6,倒数第二个加入A的为s=5,则s-t的最小割就为w[s],在图中体现出来的意思就是5-6的最小割为w[s]=3
然后我们做Contract(s,t)操作,得到下图
G(V’,E’)
重复上述操作
w[i] |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
7 |
初始值 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
A=A∪{0} |
--- |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
A=A∪{1} |
--- |
2 |
2 |
1 |
0 |
0 |
|
A=A∪{2} |
--- |
3 |
1 |
0 |
0 |
||
A=A∪{3} |
--- |
1 |
0 |
1 |
|||
A=A∪{4} |
--- |
2 |
2 |
||||
A=A∪{5} |
--- |
4 |
|||||
A=A∪{7} |
--- |
s=5,t=7 s-t最小割是4
Contract(s,t)得到
w[i] |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
初始值 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
A=A∪{0} |
--- |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
A=A∪{1} |
--- |
2 |
2 |
1 |
0 |
|
A=A∪{2} |
--- |
3 |
1 |
0 |
||
A=A∪{3} |
--- |
1 |
1 |
|||
A=A∪{4} |
--- |
4 |
||||
A=A∪{5} |
--- |
s=4,t=5 s-t最小割是4
Contract(s,t)得到
w[i] |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
初始值 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
A=A∪{0} |
--- |
1 |
1 |
1 |
1 |
A=A∪{1} |
--- |
2 |
2 |
1 |
|
A=A∪{2} |
--- |
3 |
1 |
||
A=A∪{3} |
--- |
2 |
|||
A=A∪{4} |
--- |
s=3,t=4 s-t最小割是2,(此时已经得出答案,以下省略)
AC代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <climits>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#include <string>
#include <set>
#include <stack>
#define LL long long
#define pii pair<int,int>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn = ;
int e[maxn][maxn],n,m;
bool comb[maxn];
int Find(int &s,int &t){
bool vis[maxn];
int w[maxn];
memset(vis,false,sizeof(vis));
memset(w,,sizeof(w));
int tmp = INF;
for(int i = ; i < n; ++i){
int theMax = -INF;
for(int j = ; j < n; j++)
if(!vis[j] && !comb[j] && w[j] > theMax)
theMax = w[tmp = j];
if(t == tmp) break;
s = t;
vis[t = tmp] = true;
for(int j = ; j < n; j++)
if(!vis[j] && !comb[j])
w[j] += e[t][j];
}
return w[t];
}
int solve(){
int ans = INF,s,t;
memset(comb,,sizeof(comb));
for(int i = ; i < n; i++){
s = t = -;
ans = min(ans,Find(s,t));
for(int j = ; j < n; j++){
e[s][j] += e[t][j];
e[j][s] += e[j][t];
}
comb[t] = true;
}
return ans;
}
int main() {
int u,v,w;
while(~scanf("%d %d",&n,&m)){
memset(e,,sizeof(e));
while(m--){
scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
e[u][v] += w;
e[v][u] += w;
}
printf("%d\n",solve());
}
return ;
}
转载自http://blog.sina.com.cn/s/blog_700906660100v7vb.html
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