[AHOI2008]逆序对（dp）

小可可和小卡卡想到Y岛上旅游，但是他们不知道Y岛有多远。好在，他们找到一本古老的书，上面是这样说的：下面是N个正整数，每个都在1~K之间。如果有两个数A和B，A在B左边且A大于B，我们就称这两个数为一个“逆序对”。你数一数下面的数字里有多少个逆序对，你就知道Y岛离这里的距离是多少千米了。比如说，4 2 1 3 3里面包含了5个逆序对：(4, 2), (4, 1), (4, 3), (4, 3), (2, 1)。可惜的是，由于年代久远，这些数字里有一部分已经模糊不清了，为了方便记录，小可可用“-1”表示它们。比如说，4 2 -1 -1 3 可能原来是4 2 1 3 3，也可能是4 2 4 4 3，也可能是别的样子。小可可希望知道，根据他们看清楚的这部分数字，能不能推断出这些数字里最少能有多少个逆序对。

Input

第一行两个正整数N和K。第二行N个整数，每个都是-1或是一个在1~K之间的数。

Output

一个正整数，即这些数字里最少的逆序对个数。

Sample Input

5 4
4 2 -1 -1 3

Sample Output

HINT

4 2 4 4 3中有4个逆序对。当然，也存在其它方案得到4个逆序对。

数据范围：
100%的数据中，N<=10000，K<=100。
60%的数据中，N<=100。
40%的数据中，-1出现不超过两次。

因为k十分小，所以dp[i][j]表示前i个，第i个为j的最优解。

对于两个空位a和b，分别填入数x和y，且x<y。

如果我们交换x和y，会有如下性质:

1.[1,a-1]和[b+1,n]中的数与x y构成的逆序对数不变。

2.[a+1,b-1]中大于x或小于y的数与x y构成的逆序对数不变。

3.[a+1,b-1]中在(x,y)范围内的数与x y构成逆序对。

4.x y构成逆序对。

也就是说我们如果交换x y，逆序对数会增加。

所以填入的这些数一定是单调不减的。

有了这个性质我们就可以DP了。

用f[i][j]表示第i个空位填j所形成的最小逆序对，g[i][j]表示f[i][1]-f[i][j]的最小值，cost[i][j]表示在第i个空位填j所形成的新的逆序对。显然cost[i][j]是可以预处理的。

则f[i][j]=g[i-1][j]+cost[i][j]。

注意最终答案还要加上不是空位的数形成的逆序对数。

 #include<iostream>

 #include<cstdio>

 #include<cmath>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 #define N 10007

 #define K 107

 #define inf 1000000007

 using namespace std;

 int n,k,cnt,ans=inf;

 int a[N],b[N],f[N][K],g[N][K],s[N][K],t[N][K];

 int main()

 {

     scanf("%d%d",&n,&k);

     for (int i=;i<=n;i++)

     {

         scanf("%d",&a[i]);

         if (a[i]==-) b[++cnt]=i;//用来记录-1点的标号。

     }

     for (int i=;i<=n;i++)

         for (int j=;j<=k;j++)

             s[i][j]=s[i-][j]+(a[i]>j);//预处理前缀和。

     for (int i=n;i>=;i--)

         for (int j=;j<=k;j++)

             t[i][j]=t[i+][j]+(a[i]!=-&&a[i]<j);

     for (int i=;i<=cnt;i++)

     {

         f[i][]=f[i-][]+s[b[i]][]+t[b[i]][];//自己是上升的，

         g[i][]=f[i][];

         for (int j=;j<=k;j++)

         {

             f[i][j]=g[i-][j]+s[b[i]][j]+t[b[i]][j];

             g[i][j]=min(g[i][j-],f[i][j]);//维护上升。

         }

     }

     for (int i=;i<=k;i++)

         ans=min(ans,f[cnt][i]);

     for (int i=;i<=n;i++)

         if (a[i]!=-) ans+=s[i][a[i]];

     printf("%d\n",ans);

 }

巴特西