「考试」num (破800纪念)
是第800题啦。
怎么说,$rvalue$学长写的已经挺好的了,我在这里做一点补充,写一点理解。
但是这道题真的值得写一下题解,毕竟一百行也算是数论工程题了。
定义函数
$Fp(k,n)$为$n$中$k$的最大幂次。
$Ext(k,n)=n/Fp(k,n)$
我们要求的就是$Ext(10,n!)%1000$
怎么做。
首先$Ext$函数在$k$为质数的情况下是完全积性函数。(这里zsq学长出锅了,没有说k是质数)
这个证都不用证吧。。。根据定义直接出了。
好到这步我都懂,甚至看到最后我都懂。
可是根本想不到。
这一步就是切入题目的最关键点了。
为什么要设立这样一个函数。
其实目的就是转化问题,本来让人摸不着头脑的题一下子思路就清晰起来了。
可能这就是公式思想。把不会的转化为公式,然后用数学方法死刚公式就行了。
然而$10$不是质数,不是很好求,所以我们用$CRT$合并对$Ext(10,n!)$求解。
代出两个互质部分的式子。
$Ext(10,n!)=\frac{n!}{2^{Fp(5,n!)}5^{Fp(5,n!)}}$
一种经典的$O(log_5(n))$阶乘求因子方法,可以很快的求出$Fp(5,n!)$,$2^c$和$5^c$互质,可以直接欧拉定理求逆元。
所以其实求$Ext(5,n!)$即可。
在$K==1$的时候。我们将$10$拆分成$2$和$5$。
利用$Ext$的完全积性。
$Ext(5,n!) \equiv \prod \limits_{i=1}^{n!}Ext(5,i)(mod\ 5)$
$\equiv \prod \limits_{i=1,5|i}^{n!}Ext(5,\frac{i}{5})\prod \limits_{i=1,5\perp i}^{n}Ext(5,i)(mod\ 5)$
$\equiv Ext(5,\frac{n!}{5})\prod \limits_{i=1,5\perp i}^{n}i(mod\ 5)$
$\equiv Ext(5,\frac{n!}{5})(\prod \limits_{i=1,5\perp i}^{5}i)^{\frac{n}{5}} \prod \limits_{i=1,5\perp i}^{n\%5} i (mod\ 5)$
发现是个递归式。
一千的话,同理也可以快速递归的到答案。
但是要写高精所以就很麻烦了。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=1e2+;
typedef long long ll;
inline void read(int &x)
{
x=;char c=getchar();
while(c<''||c>'') c=getchar();
while(c>=''&&c<='') x=(x<<)+(x<<)+c-,c=getchar();
}
const int tw[]={,,,},fi[]={,,,},phif[]={,,,},mo[]={,,,};
int T,K,tc,fr,se,num;
char s[maxn];
int add(int x,int y,int mod) {return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
int mul(int x,int y,int mod) {return 1LL*x*y%mod;}
int qw(int a,int b,int mod)
{
int ans=;
for(;b;b>>=,a=mul(a,a,mod)) if(b&) ans=mul(ans,a,mod);
return ans;
}
struct Bigdata{
int a[maxn];
bool isz() {return a[]==&&a[a[]]==;}
void init(char *s)
{
memset(a,,sizeof(a));
a[]=strlen(s+);
for(int i=a[];i>=;--i) a[i]=s[a[]-i+]-;
}
void divf(int m)
{
int x=;
for(int i=a[];i>=;--i) x=x*+a[i],a[i]=x/m,x%=m;
while(!a[a[]]&&a[]>) --a[];
}
int getm(int mod)
{
int res=;
for(int i=a[];i>=;--i) res=add(a[i],mul(res,,mod),mod);
return res;
}
int getn() {int res=;for(int i=a[];i>=;--i) res=res*+a[i];return res;}
void print() {for(int i=;i<=a[];++i) printf("%d",a[i]);puts("");}
}n,tmp;
int nfac(Bigdata &t,int m,int mod)
{
int ans=;
while(!t.isz())
{
t.divf(m);
ans=add(ans,t.getm(mod),mod);
}
return ans;
}
void lit(int n,int K)
{
const int mod=1e5;ll ans=;
for(int j=,t=j;j<=n;++j,t=j)
{
while(!(t%)) t/=;t%=mod;ans*=t;
while(!(ans%)) ans/=;ans%=mod;
}
for(int i=K;i>=;--i) printf("%lld",(ans/mo[i-])%);puts("");
}
int Ext()
{
if(n.isz()) return ;
int up=n.getm(fi[K]);
tmp=n;tmp.divf(fi[K]);n.divf();
int tc=tmp.getm(phif[K]),t=;
for(int i=;i<=up;++i) if(i%) t=mul(t,i,fi[K]);
return mul(mul(qw(num,tc,fi[K]),t,fi[K]),Ext(),fi[K]);
}
int main()
{
// freopen("ex_num2.in","r",stdin);
// freopen("a.out","w",stdout);
read(T);
while(T--)
{
scanf("%s",s+);n.init(s);read(K);
if(n.a[]<=) {lit(n.getn(),K);continue;}
tmp=n;
tc=nfac(tmp,,phif[K]);
fr=qw(qw(,tc,fi[K]),phif[K]-,fi[K]);
for(int i=num=;i<=fi[K];++i) if(i%) num=mul(num,i,fi[K]);
se=Ext();
se=mul(se,fr,fi[K]);
while(se%tw[K]) se=add(se,fi[K],tw[K]*fi[K]);
for(int i=K;i>=;--i) printf("%d",(se/mo[i-])%);puts("");
}
return ;
}
num
最后$%%%zsq$学长,教我多项式,题解写的又好。
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