- > 动规讲解基础讲解一——01背包(模板)
作为动态规划的基础,01背包的思想在许多动规问题中会经常出现,so,熟练的掌握01背包的思路是极其重要的;
v = (2,2,3)
w = (1,2,3)
可能你已经想到了,考虑“性价比”,先选取“性价比”高的。性价比怎么定义呢?用价值除以重量!先选取单位重量价值最大的物品试试?
v = (2,3,4)
w = (3,4,5)
假设我们已经知道了全部的f(i-1,*)的值,如何求f(i,*),换句话说我们有了状态表示还不够,如何求出递推式?
如果我们要选取第i件物品,那么前i – 1件物品必须要达到j - wi且价值最大。由我们对f的定义,有f(i,j) = f(i-1,j - wi) + vi, 那么我们究竟选不选第i件物品呢?只好看哪个大了值大了,所以由
那么初值是什么呢?f(0,*),一件物品也不选的时候,显然重量只能是0,其他的重量都不存在,我们用负无穷来表示不可能,因为求的是最大价值嘛。
那么,我们整理一下我们的递推式子和初值:
优化?我们看一下这个递推式子核心就是f(i,j) = max(f(i – 1, j) , f(i-1,j - wi) + vi), 看一下f(i,*)只与f(i-1,*)相关,再仔细看看我们的第维j,只和更小的值相关,我们可以省掉一维i,然后倒着循环j,用旧的值更新新的值,这时f一部分是旧的值f(i-1,*),一部分是新的值f(i,*)。更具体地说小于j地是旧值,其余是新值。
核心伪代码:
f() =
f(..m) = -∞
for i = to n do
for j = m downto wi do
f(j) = max(f(j), f(j - wi))
endfor
endfor
所求结果是max{f(0..m)}
注意我们循环j只到wi,因为再小的j会导致我们无法选择第i件物品,这时我们直接使用不用第i件物品的旧值就好啦。简单吧?
那么现在,时间复杂度时不变的,空间复杂度降低O(m)了。
们尝试换一种状态表示? 我们令f(i,j)表示决定了前i件物品,总重量不超过j时能获得的最大价值。仔细想想递推式是不变的,那么初值呢?如果初值不变,f就没变化了……i= 0时,总重量时0,又因为0不超过任何整数,所以根据定义初值是f(0,*) = 0
那么最终结果呢?根据定义,最终结果是f(n,m)而没有必要再一串数里取最大了。可见即使递推式相同,初值不同也会定义不同的函数,请不要忽略初值的作用啊。同样我们可以优化掉第一维。
核心伪代码:
初值f(..m) =
for i = to n do
for j = m downto wi do
f(j) = max(f(j), f(j - wi))
endfor
endfor
所求结果是f(m)
再换一种状态表示?刚才讲了,我们有重量和价值两个指标,那么我们令f(i,j)是决定了前i件物品,总价值恰好是j时的最小重量,那么经过类似的分析,我们可以写出这样的初值和递推式:
{0(i=0∩j=0)
f(i,j)= {∞(i=0∩j>0)
{f(i−1,j)(i>0∪j<vi)
{max(f(i−1,j),f(i−1,j−wi)+vi)(i>0∪j>vi)
那结果是什么呢?
根据定义结果是max{x| f(n, x) <= m}, 同样我们可以优化掉一维的空间复杂度。那么时间复杂度是什么呢? O(n * sum(vi)) sum(vi)表示所有vi的和,也是第二维有意义的大小。
f(0,1.. sum(vi))) = 0
可见,动态规划问题状态表示十分灵活,不同的状态表示会有不同的解决方法。努力取发现吧!
第1行,2个整数,N和W中间用空格隔开。N为物品的数量,W为背包的容量。(1 <= N <= 100,1 <= W <= 10000)
第2 - N + 1行,每行2个整数,Wi和Pi,分别是物品的体积和物品的价值。(1 <= Wi, Pi <= 10000)
输出可以容纳的最大价值。
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14
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,w[],d[],m,f[];
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=;i<=n;i++) cin>>w[i]>>d[i];
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=m;j>=w[i];j--)
f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+d[i]);
cout<<f[m];
}
如果对你有所帮助,别忘了加好评哦;么么哒!!下次见!88
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