浅说——数位DP
老子听懂了!!!!!
好感动!!!
不说多了:Keywords: 数位DP,二进制,异或。
“在信息学竞赛中,有一类与数位有关的区间统计问题。这类问题往往具有比较浓厚的数学味道,无法暴力求解,需要在数位上进行递推等操作。”——刘聪《浅谈数位类统计问题》
这类问题往往需要一些预处理,这就用到了数位DP。
需要统计区间[l,r]的满足题意的数的个数,这往往可以转换成求[0,r]-[0,l)
基本思想与方法
有了上述性质,我们就可以从高到低枚举第一次<n对应位是哪一位。
这样之前的位确定了,之后的位就不受n的限制即从00...0~99...9,可以先预处理,然后这时就可以直接统计答案。
预处理F数组。
F[i,st] 代表 位数为i(可能允许前导0。如00058也是个5位数),状态为st的方案数。这里st根据题目需要确定。
如i=4,f[i,st]也就是0000~9999的符合条件的数的个数(十进制)
决策第i位是多少(such as 0~9)
F[i,st] = F[i,st] + f[i–1,st']
st'为相对应的状态
参照刚刚所说的基本思路。预处理f数组,然后统计[0,m] - [0,n).
f[i,j]代表开头是j的i位数中不含"62"或"4"的数有几个。
如f[2,6]包含60,61,63,65,66,67,68,69
for(i=;i<=;i++)//因为数据为1000000,所以预处理7位
for(j=;j<=;j++)//第i位
for(k=;k<=;k++)//第i-1位
if(j!=&&!(j==&&k==))f[i][j]+=f[i-][k];
接下来,怎么算出0-n和0-m区间的答案数呢?
用一个通用函数(Cal):
如456=f[][]+f[][]+f[][]+f[][]+f[][]//(为什么不枚举到5呢?因为再下一位枚举了) +f[][]+f[][]+f[][]+f[][]+f[][]//(就是这一位) +f[][]+f[][]+f[][]+f[][]+f[][]+f[][]+f[][].
具体代码如下:
#include<cstdio>//最右边是第一位
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int f[][];
int Cal(int k)//求1~k中有多少符合的数.
{
int len,digit[],i,j,ans=;
memset(digit,,sizeof(digit)),len=;//digit[i]为当前的某个数从右到左第i个位置的数是多少.
while(k>){digit[++len]=k%;k/=;}
for(i=len;i>=;i--)
{
for(j=;j<=digit[i]-;j++)//每一位只能到k的下一位,所以计算的数实际只能到k-1.所以Cal()中传数要加1.
{
if(j!=&&!(j==&&digit[i+]==))ans+=f[i][j];
}
if(digit[i]==||(digit[i]==&&digit[i+]==))break; //如果这一位本来就没法,则后面的情况报废
}
return ans;
}
int main()
{
int n,m,i,j,k;
memset(f,,sizeof(f));//f[i][j]为以j开始的且不含"62"和"4"位数为i的个数.
f[][]=;
for(i=;i<=;i++)
{
for(j=;j<=;j++)//第i位
{
for(k=;k<=;k++)//第i-1位
{
if(j!=&&!(j==&&k==))f[i][j]+=f[i-][k];
}
}
}
while()
{
scanf("%d %d",&n,&m);
if(n==&&m==)break;
printf("%d\n",Cal(m+)-Cal(n));//因为当前的Cal(k)是计算出从1到k-1的符合条件的数的个数,所以要计算n~m的个数要用Cal(m+1)-Cal(n).
}
return ;
}
变式模板题_P2657 [SCOI2009]windy数
这题还是很简单的啦(差点没做出来
个位打表大佬请离开(包括记搜),我这里讲的是DP!!!
首先Cal(b+1)-Cal(a),大家都懂吧(算了,复制一遍吧<<((因为当前的Cal(k)是计算出从1到k-1的符合条件的数的个数,所以要计算a~b的个数要用Cal(b+1)-Cal(a).))>>)
f[i][j]定义一样,以j开始的且符合条件的总位数为i的答案个数.(好绕啊)
预处理转移不用讲吧:f[i][j]+=f[i-1][k];(还是复制了)
有个小细节,每个一位数答案都为1,所以分f[1][j]=0.
重点讲讲不同之处(Cal函数):
显然位数比x要小的数字都是合法的都在[1,x)区间内,直接统计就行.(第一次加ans)
位数和x一样最高位的数字比x小的数字都是合法的都在[1,x)区间内直接统计就行(第二次加ans)
位数和x一样,最高位又和x一样我们从左到右扫一遍x各个位子上的数字大小然后枚举合法的该位子上的数[0,9]判断是否合法就行。(第三次加ans)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[][];
int a,b;
int digit[],cnt,ans;
void init ()
{
for (int i=;i<=;i++) f[][i]=;
for (int i=;i<=;i++)
for (int j=;j<=;j++)
for (int k=;k<=;k++)
if(abs(j-k)>=)
f[i][j]+=f[i-][k];
}
int Cal(int x)
{
//freopen("a.in", "r", stdin);
memset(digit,,sizeof(digit));
ans=;
cnt=;
while(x)
{
digit[++cnt]=x%;
x/=;
}
//三种情况
for (int i=;i<cnt;i++)
for (int j=;j<=;j++)
ans+=f[i][j]; //在不到x位数前,所有情况符合。
for (int i=;i<digit[cnt];i++) ans+=f[cnt][i]; //x位数,最高位未到digit[cnt]。
for (int i=cnt-;i>=;i--)//x位数,最高位到digit[cnt]
{
for (int j=;j<digit[i];j++)
if(abs(j-digit[i+])>=)
ans+=f[i][j];
if(abs(digit[i]-digit[i+])<)
break;
}
//printf("%d\n",ans);
return ans;
}
void work()
{
cin>>a>>b;
cout<<Cal(b+)-Cal(a)<<'\n';
}
int main()
{
init();
work();
return ;
}
同步题解
加油……
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