已知m和n是两个整数,并且m^2+mn+n^2能被9整除,试证m,n都能被3整除。
2024-08-21 00:00:49
引证:m,n都是整数,m2=3n,求证m是3的倍数。
引证证明:(反证法)假设m并非3的倍数,那么m2则不含因数3,则m2≠3n,这与已知条件相反。
所以,当m2=3n时,m必是3的倍数。
有了引证,下面是正式证明。
证明:设m2+mn+n2=9k,则有(m-n)2=3(3k-mn),按上面的引证知道m-n是3的倍数,设m-n=3p
又有mn=((m-n)2-9k)/3=3p2-3k=3(p2-k)
所以mn也是3的倍数,设mn=3q
又有(m+n)2-mn=9k
(m+n)2=9k+mn=9k+3q=3(3k+q)
故m+n也是3的倍数,设m+n=3w
因此有
m+n=3w
m-n=3p
由上面两个方程可以得到
m=3((p+w)/2)
n=3((w-p)/2)
又因为m,n都是整数
所以m,n必为3的倍数
证毕。
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