机器学习数学笔记|偏度与峰度及其python实现

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矩

对于随机变量X,X的K阶原点矩为
\[E(X^{k})
\]
X的K阶中心矩为
\[E([X-E(X)]^{k})
\]
期望实际上是随机变量X的1阶原点矩,方差实际上是随机变量X的2阶中心矩
变异系数(Coefficient of Variation):标准差与均值(期望)的比值称为变异系数,记为C.V
偏度Skewness(三阶)
峰度Kurtosis(四阶)

偏度与峰度

利用matplotlib模拟偏度和峰度

计算期望和方差

import matplotlib.pyplot as plt

import math

import numpy as np

def calc(data):

    n=len(data) # 10000个数

    niu=0.0 # niu表示平均值,即期望.

    niu2=0.0 # niu2表示平方的平均值

    niu3=0.0 # niu3表示三次方的平均值

    for a in data:

        niu += a

        niu2 += a**2

        niu3 += a**3

    niu /= n

    niu2 /= n

    niu3 /= n

    sigma = math.sqrt(niu2 - niu*niu)

    return [niu,sigma,niu3]

\[niu=\bar{X_{i}}即期望
\]

\[niu2=\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}}{n}
\]

\[niu3=\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{3}}{n}
\]

sigma表示标准差公式为
\[\sigma=\sqrt{E(x^{2})-E(x)^{2}}
\]

\[用python语言表示即为sigma = math.sqrt(niu2 - niu*niu)
\]
返回值为[期望,标准差,\(E(x^{3})\)]
PS:我们知道期望E(X)的计算公式为
\[E(X)=\sum_{i=1}^{n}p(i)x(i)-----(1)
\]

这里我们X一个事件p(i)表示事件出现的概率,x(i)表示事件所给予事件的权值.
我们直接利用
\[E(x)=\bar{X_{i}}----(2)
\]

表示期望应当明确
1. (2)公式中\(X_{i}是利用numpy中的伪随机数生成的,其均值用于表示期望\)
2. 此时(1)公式中对事件赋予的权值默认为1,即公式的本来面目为
\[E(x)=\bar{(X_{i}*1)}
\]

计算偏度和峰度

def calc_stat(data):

    [niu, sigma, niu3]=calc(data)

    n=len(data)

    niu4=0.0 # niu4计算峰度计算公式的分子

    for a in data:

        a -= niu

        niu4 += a**4

    niu4 /= n

    skew =(niu3 -3*niu*sigma**2-niu**3)/(sigma**3) # 偏度计算公式

    kurt=niu4/(sigma**4) # 峰度计算公式:下方为方差的平方即为标准差的四次方

    return [niu, sigma,skew,kurt]

利用matplotlib模拟图像

if __name__ == "__main__":

    data =  list(np.random.randn(10000)) # 满足高斯分布的10000个数

    data2 = list(2*np.random.randn(10000))  # 将满足好高斯分布的10000个数乘以两倍,方差变成四倍

    data3 =[x for x in data if x>-0.5] # 取data中>-0.5的值

    data4 = list(np.random.uniform(0,4,10000)) # 取0~4的均匀分布

    [niu, sigma, skew, kurt] = calc_stat(data)

    [niu_2, sigma2, skew2, kurt2] = calc_stat(data2)

    [niu_3, sigma3, skew3, kurt3] = calc_stat(data3)

    [niu_4, sigma4, skew4, kurt4] = calc_stat(data4)

    print (niu, sigma, skew, kurt)

    print (niu2, sigma2, skew2, kurt2)

    print (niu3, sigma3, skew3, kurt3)

    print (niu4, sigma4, skew4, kurt4)

    info = r'$\mu=%.2f,\ \sigma=%.2f,\ skew=%.2f,\ kurt=%.2f$' %(niu,sigma, skew, kurt) # 标注

    info2 = r'$\mu=%.2f,\ \sigma=%.2f,\ skew=%.2f,\ kurt=%.2f$' %(niu_2,sigma2, skew2, kurt2)

    info3 = r'$\mu=%.2f,\ \sigma=%.2f,\ skew=%.2f,\ kurt=%.2f$' %(niu_3,sigma3, skew3, kurt3)

    plt.text(1,0.38,info,bbox=dict(facecolor='red',alpha=0.25))

    plt.text(1,0.35,info2,bbox=dict(facecolor='green',alpha=0.25))

    plt.text(1,0.32,info3,bbox=dict(facecolor='blue',alpha=0.25))

    plt.hist(data,100,normed=True,facecolor='r',alpha=0.9)

    plt.hist(data2,100,normed=True,facecolor='g',alpha=0.8)

    plt.hist(data4,100,normed=True,facecolor='b',alpha=0.7)

    plt.grid(True)

    plt.show()

图形表示的是利用numpy随机数生成函数生成的随机数的统计分布,利用matplotlib.pyplot.hist绘制的直方图.即是出现数字的分布统计,并且是归一化到0~1区间后的结果.
即横轴表示数字,纵轴表示在1000个随机数中横轴对应的数出现的百分比.若不使用归一化横轴表示数字(normed=False),纵轴表示出现的次数.
若不使用归一化--纵轴表示出现次数,

关于matplotlib.pyplot.hist函数

n, bins, patches = plt.hist(arr, bins=10, normed=0, facecolor='black', edgecolor='black',alpha=1，histtype='b')

hist的参数非常多，但常用的就这六个，只有第一个是必须的，后面四个可选

arr: 需要计算直方图的一维数组

bins: 直方图的柱数，可选项，默认为10

normed: 是否将得到的直方图向量归一化。默认为0

facecolor: 直方图颜色

edgecolor: 直方图边框颜色

alpha: 透明度

histtype: 直方图类型，‘bar’, ‘barstacked’, ‘step’, ‘stepfilled’

返回值 ：

n: 直方图向量，是否归一化由参数normed设定

bins: 返回各个bin的区间范围

patches: 返回每个bin里面包含的数据，是一个list

参考博文

巴特西

机器学习数学|偏度与峰度及其python实现

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矩

偏度与峰度

利用matplotlib模拟偏度和峰度

计算期望和方差

计算偏度和峰度

利用matplotlib模拟图像

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