【机器学习】BP & softmax求导

一、BP原理及求导

二、softmax及求导

一、BP

1、为什么沿梯度方向是上升最快方向

根据泰勒公式对f(x)在x0处展开，得到f(x) ~ f(x0) + f'(x0)(x-x0), 故得到f(x) - f(x0) ~ f'(x0)(x-x0), 所以从x0出发，变化最快，即使f(x)-f(x0)最大，也就f'(x0)(x-x0)，由于f'(x0)与(x-x0)均为向量（现在x0取的是一个数，如果放在多维坐标那么x0就是一个多维向量），由余弦定理f'(x0) 与(x-x0)方向相同时，点积最大，故梯度方向是上升最快方向。

2、什么是BP

梯度反向传播（back propagation)过程就是：由前馈神经网络得到损失函数，然后根据损失函数后向地更新每一层的权重，目的就是让损失函数变小

3、BP的优势

与从前往后进行求导相比，BP能够避开了路径被重复访问，它对于每一个路径只访问一次就能求顶点对所有下层节点的偏导值。
能够自适应、自主学习。这是BP算法的根本以及其优势所在，BP算法根据预设的参数更新规则，不断地调整神经网络中的参数，以达到最符合期望的输出。

4、BP的不足

BP是基于梯度下降算法实现的，所以容易陷入局部最小而不是全局最小
由于BP神经网络中的参数众多，每次都需要更新数量较多的阈值和权值，故会导致收敛速度过慢

二、softmax函数及求导

1、softmax函数

在Logistic regression二分类问题中，我们可以使用sigmoid函数将输入 $Wx + b$ 映射到 $(0, 1)$ 区间中，从而得到属于某个类别的概率。将这个问题进行泛化，推广到多分类问题中，我们可以使用softmax函数，对输出的值归一化为概率值。

这里假设在进入softmax函数之前，已经有模型输出 $C$ 值，其中 $C$ 是要预测的类别数，模型可以是全连接网络的输出 $a$ ，其输出个数为 $C$ ，即输出为 $a_{1}, a_{2}, ..., a_{C}$ 。

所以对每个样本，它属于类别 $i$ 的概率为：

$y_{i} = \frac{e^{a_i}}{\sum_{k=1}^{C}e^{a_k}} \ \ \ \forall i \in 1...C$

通过上式可以保证 $\sum_{i=1}^{C}y_i = 1$ ，即属于各个类别的概率和为1。

2、求导

对softmax函数进行求导，即求 $\frac{\partial{y_{i}}}{\partial{a_{j}}}$

第 $i$ 项的输出对第 $j$ 项输入的偏导。
代入softmax函数表达式，可以得到：

$\frac{\partial{y_{i}}}{\partial{a_{j}}} = \frac{\partial{ \frac{e^{a_i}}{\sum_{k=1}^{C}e^{a_k}} }}{\partial{a_{j}}}$

所以，当 $i = j$ 时：

$\frac{\partial{y_{i}}}{\partial{a_{j}}} = \frac{\partial{ \frac{e^{a_i}}{\sum_{k=1}^{C}e^{a_k}} }}{\partial{a_{j}}}= \frac{ e^{a_i}\Sigma - e^{a_i}e^{a_j}}{\Sigma^2}=\frac{e^{a_i}}{\Sigma}\frac{\Sigma - e^{a_j}}{\Sigma}=y_i(1 - y_j)$

当 $i \ne j$ 时：

$\frac{\partial{y_{i}}}{\partial{a_{j}}} = \frac{\partial{ \frac{e^{a_i}}{\sum_{k=1}^{C}e^{a_k}} }}{\partial{a_{j}}}= \frac{ 0 - e^{a_i}e^{a_j}}{\Sigma^2}=-\frac{e^{a_i}}{\Sigma}\frac{e^{a_j}}{\Sigma}=-y_iy_j$

LOSS 求导

对一个样本来说，真实类标签分布与模型预测的类标签分布可以用交叉熵来表示： $l_{CE} = -\sum_{i = 1}^{C}t_i log(y_i)$

最终，对所有的样本，我们有以下loss function：

$L = -\sum_{k = 1}^{n}\sum_{i = 1}^{C}t_{ki} log(y_{ki})$

其中 $t_{ki}$ 是样本 $k$ 属于类别 $i$ 的概率， $y_{ki}$ 是模型对样本 $k$ 预测为属于类别 $i$ 的概率。

对单个样本来说，loss function $l_{CE}$ 对输入 $a_j$ 的导数为：

$\frac{\partial l_{CE}}{\partial a_j} = -\sum_{i = 1}^{C}\frac {\partial t_i log(y_i)}{\partial{a_j}} = -\sum_{i = 1}^{C}t_i \frac {\partial log(y_i)}{\partial{a_j}} = -\sum_{i = 1}^{C}t_i \frac{1}{y_i}\frac{\partial y_i}{\partial a_j}$

上面对 $\frac{\partial{y_{i}}}{\partial{a_{j}}}$ 求导结果已经算出：

当 $i = j$ 时： $\frac{\partial{y_{i}}}{\partial{a_{j}}} = y_i(1 - y_j)$

当 $i \ne j$ 时： $\frac{\partial{y_{i}}}{\partial{a_{j}}} = -y_iy_j$

所以，将求导结果代入上式

参考博客：

1、https://zhuanlan.zhihu.com/p/27223959

巴特西

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