ABC 171 F - Strivore 【容斥】
https://atcoder.jp/contests/abc171/tasks/abc171_f
题意
给你一个数 \(k\) ,一个字符串 \(s\) (只包含小写字母)
定义一次操作:把任意小写英文字母填入当前串的任意位置。问做完 \(k\) 次操作能得到多少不同的字符串?
思路
首先试着直接求出答案,那么就是往当前串的空隙里插入字符。
原字符串的空隙一共有 \(|S|\) 个。对于字符串原有的字符 \(s_i\) 来说,它会把它之后第一次出现的和 \(s_{i+1}\) 相同的字符当成 \(s_{i+1}\),所以除了最后一个空隙可以任意填(26种),原字符串的空隙可以填入的字符都是25种。
我的意思是 \(\sum_{i=0} ^ {k} 26^i * 25^{k - i} * C_{k - i + |S| - 1} ^ {|S| - 1}\) 。
然而可以证伪。
因为我的做法是对于同一个 \(i\),把所有的排列组合方案数和 \(25^{k - i}\) 相乘,可能会多算,例如 _a_b , 填入了aa,填在a之后就都可以,有填的a落在a之前就不可以 。
正解:
正难则反。
ans = \(26^{k + |S|}\) - 不包含 \(S\) 这个子序列的字符串方案数
check是否包含 \(S\) 这个子序列的方法:从字符串的第一个开始找,找到和 \(s_i\) 相同的字符串后,\(i\) += 1
新字符串可以包含 \(S\) 这个子序列的一个前缀 from 0 to |S| - 1
字符串的空隙间可以填入25种字符,由于不包含完整的 \(S\),字符串的末尾的空隙也只能填入25种字符
ans = \(26^{k + |S|} - \sum_{i = 0} ^ {|S| - 1} 25^{k + |S| - i} * C_{k + |S|} ^ {i}\)
code
思路清楚了,代码实现就比较简单了。
ll qpow(ll a, ll x) {
ll ans = 1;
while(x) {
if(x & 1) {ans *= a; ans %= mod;}
a *= a; a %= mod; x /= 2;
}
return ans;
}
void init(int n) {
fac[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
}
inv[n] = qpow(fac[n], mod - 2);
for(int i = n - 1; i >= 1; i--) {
inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
}
inv[0] = 1;
}
ll C(int n, int m) {
if(n < m) return 0;
return fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;
}
int main () {
init(2e6);
scanf("%d%s", &k, s + 1);
n = strlen(s + 1);
ll ans = qpow(26, n + k);
for (int i = 0; i < n; i++) {
ans = (ans - qpow(25, n + k - i) * C(n + k, i) % mod + mod) % mod;
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
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