fft相关的复习

任意长度卷积 CZT

就是一波推导

\[\begin{aligned}
b_i &= \sum_{j=0}^{n-1} \omega^{ij}a_j \\
&= \sum_{j=0}^{n-1} \omega^{\frac{i^2+j^2-(i-j)^2}{2}}a_j \\
&= \omega^{\frac{i^2}{2}} \sum_{j=0}^{n-1}\omega^{\frac{-(i-j)^2}{2}} a_j \omega^{j^2}
\end {aligned}
\]

后面是一个减法卷积，就可以扩展到2的幂次直接fft就好了。

2次dft计算卷积

考虑有两个长度为\(n = 2^k\)的序列\(a(x), b(x)\)，我们要计算他们的dft。

构造序列\(p_k = a_k + ib_k, \; q_k = a_k - ib_k\)，

有结论\(dft_q(k) = conj(dft_p((n - k) \mod n))\)。展开，考虑几何意义？？？

我们可以解出\(dft_a, dft_b\)。

再做一遍idft就可以了

拆系数fft

记\(M = \sqrt {mod}\)，把\(x\)表示成\(x = a \times M + b, b < M\)。

\((a \times M + b)(c \times M + d) = ac \times M^2 + (ad + bc) \times M + bd\)

对每一项分开算，做7次dft就可以了。

套用上述介绍做法4次dft就够了。

实现上注意在idft的时候，直接把一个序列放在real，另一个放在imag，idft回来直接/N后计算贡献就好了。

以及我们可以直接在一个for里面做解出AB，reverse序列的事情。

下面是关键部分的代码。

poly realmain(poly a, poly b) {

    int n = a.size(), m = b.size();

    prepare(n + m - 1);

    for (int i = 0; i < n; i++) A[i] = cpx(a[i] & 32767, a[i] >> 15);

    for (int i = 0; i < m; i++) B[i] = cpx(b[i] & 32767, b[i] >> 15);

    dft(A, fft_n); dft(B, fft_n);

    for (int i = 0; i < fft_n; i++) {

        int j = (fft_n - i) % fft_n;

        cpx ax, ay, bx, by;

        ax = (A[i] + A[j].conj()) * cpx(0.5, 0);

        ay = (A[i] - A[j].conj()) * cpx(0, -0.5);

        bx = (B[i] + B[j].conj()) * cpx(0.5, 0);

        by = (B[i] - B[j].conj()) * cpx(0, -0.5);

        C[j] = ax * bx + ay * by * cpx(0, 1.0);

        D[j] = ay * bx + ax * by * cpx(0, 1.0);

    }

    dft(C, fft_n); dft(D, fft_n);

    poly ans(n + m - 1, 0);

    for (int i = 0; i < ans.size(); i++) {

        lo ax = lo(C[i].x / fft_n + 0.5) % mod;

        lo ay = lo(C[i].y / fft_n + 0.5) % mod;

        lo bx = lo(D[i].x / fft_n + 0.5) % mod;

        lo by = lo(D[i].y / fft_n + 0.5) % mod;

        ans[i] = ax + ((by + bx) << 15) + (ay << 30);

        ans[i] = (ans[i] % mod + mod) % mod;

    }

    return ans;

}

巴特西

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