[2019牛客多校第二场][A. Eddy Walker]
题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/882/A
题目大意:圆上有\(n\)个点,标号从\(0\)到\(n-1\),初始一个人在点\(0\),每次会等概率向左或向右移动一步,如果某一时刻所有点均被访问过则停止移动,问最终停留在\(m\)点的概率
题解:若\(m \neq 0\)且\(n \neq 1\),则\(ans=\frac{1}{n-1}\),具体证明如下
若设答案为\(f(n,m)\),可以发现这个函数有如下性质:
1.函数是关于零点对称的,即\(f(n,m)=f(n,n-m)\)
2.若\(m\neq 0,1,n-1\),则\(f(n,m)=\frac{f(n,m-1)+f(n,m+1)}{2}\),画一下图就能知道为什么了
接着考虑\(n\)的奇偶性,若\(n\)为奇数,则设\(a=\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor,b=\left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil,c=b+1\)。可以发现由如上两条性质,有\(f(n,a)=f(n,b)\),且\(f(n,b)=\frac{f(n,a)+f(n,c)}{2}\),因此可以得出\(f(n,a)=f(n,b)=f(n,c)\)。以此类推则可以得出所有\(f(n,m)\)相等,所以函数取值为\(\frac{1}{n-1}\)
若\(n\)为偶数,则设\(a=\frac{n}{2}-1,b=\frac{n}{2},c=\frac{n}{2}+1\),可以得出\(f(n,a)=f(n,c)\),且\(f(n,b)=\frac{f(n,a)+f(n,c)}{2}\),同样可以推出\(f(n,a)=f(n,b)=f(n,c)\),同理可证\(f(n,m)=\frac{1}{n-1}(m\neq 0)\)
注意对\(n=1\)的特判即可
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define MOD 1000000007
LL T,n,m,ans=1ll;
LL qow(LL x,LL y){return y?(y&?x*qow(x,y-)%MOD:qow(x*x%MOD,y/)):;}
int main()
{
scanf("%lld",&T);
while(T--)
{
LL res;
scanf("%lld%lld",&n,&m);
if(m==)res=n>?:;
else res=qow(n-,MOD-);
ans*=res,ans%=MOD;
printf("%lld\n",ans);
}
return ;
}
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