bzoj4009: [HNOI2015]接水果（整体二分）

题目描述

风见幽香非常喜欢玩一个叫做 osu!的游戏，其中她最喜欢玩的模式就是接水果。由于她已经DT FC 了The big black, 她觉得这个游戏太简单了，于是发明了一个更加难的版本。

首先有一个地图，是一棵由 n 个顶点、n-1 条边组成的树（例如图 1给出的树包含 8 个顶点、7 条边）。

这颗树上有 P 个盘子，每个盘子实际上是一条路径（例如图 1 中顶点 6 到顶点 8 的路径），并且每个盘子还有一个权值。第 i 个盘子就是顶点a_i到顶点b_i的路径(由于是树，所以从a_i到b_i的路径是唯一的)，权值为c_i。

接下来依次会有Q个水果掉下来，每个水果本质上也是一条路径，第i 个水果是从顶点 u_i 到顶点v_i 的路径。

幽香每次需要选择一个盘子去接当前的水果：一个盘子能接住一个水果，当且仅当盘子的路径是水果的路径的子路径（例如图1中从 3到7 的路径是从1到8的路径的子路径）。这里规定:从a 到b的路径与从b到 a的路径是同一条路径。

当然为了提高难度，对于第 i 个水果，你需要选择能接住它的所有盘子中，权值第 k_i 小的那个盘子，每个盘子可重复使用（没有使用次数的上限：一个盘子接完一个水果后，后面还可继续接其他水果，只要它是水果路径的子路径）。幽香认为这个游戏很难，你能轻松解决给她看吗？ < width="395" height="212" alt="" />

输入输出格式

输入格式：

第一行三个数 n和P 和Q，表示树的大小和盘子的个数和水果的个数。接下来n-1 行，每行两个数 a、b，表示树上的a和b 之间有一条边。树中顶点按1到 n标号。接下来 P 行，每行三个数 a、b、c，表示路径为 a 到 b、权值为 c 的盘子，其中0<=c<=10^9，a不等于b。接下来Q行，每行三个数 u、v、k，表示路径为 u到 v的水果，其中 u不等于v，你需要选择第 k小的盘子，第k 小一定存在。

输出格式：

对于每个果子，输出一行表示选择的盘子的权值。

输入输出样例

输入样例#1：复制

10 10 10

1 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

8 9

9 10

3 2 217394434

10 7 13022269

6 7 283254485

6 8 333042360

4 6 442139372

8 3 225045590

10 4 922205209

10 8 808296330

9 2 486331361

4 9 551176338

1 8 5

3 8 3

3 8 4

1 8 3

4 8 1

2 3 1

2 3 1

2 3 1

2 4 1

1 4 1

输出样例#1：复制

说明

N,P,Q<=40000。

题解

　　收获良多……知道了整体二分是个啥……知道了不用CDQ直接求矩形覆盖……balabala（我很好奇自己是怎么看懂题解的）

　　先考虑一下怎么判断一条路径是否被另一条路劲覆盖

　　我们记录一下每一个点的dfs序，其中$ls_u=dfn_u,rs_u=dfn_u+size_u-1$，这个应该是基本操作

　　然后我们考虑一下

　　我们把路径表示为二维平面上的一个点，$(ls_u,ls_v)(ls_u<ls_v)$，设询问为$x->y$且$ls_x<ls_y$

　　如果$lca(u,v)!=u$，那么必定满足$x$在$u$的子树里，$y$在$v$的子树内，也就满足$ls_u\leq ls_x \leq rs_u,ls_v\leq ls_y \leq rs_v$，那么就是点$(ls_x,ls_y)$在矩形${(ls_u,ls_v),(rs_u,rs_v)}$里面

　　如果$lca(u,v)==u$，那么设$z$为$u->v$路径上的第一个点，那么必定有一个点在$v$子树内，另一个点在$v$子树外，就是点$(ls_x,ls_y)$在矩形${(1,ls_v),(ls_z-1,rs_v)}\bigcup {(ls_v,rs_z+1),(rs_v,n)}$里面

　　那么我们可以整体二分，二分一个答案，然后统计每一个点被矩形覆盖了多少次，然后不断这样做下去就行了

　　至于怎么快速求一个点被矩形覆盖多少次，可以先排序去掉$x$的影响，然后用树状数组存储前缀和并查询

 //minamoto

 #include<iostream>

 #include<cstdio>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)

 char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;

 inline int read(){

     #define num ch-'0'

     char ch;bool flag=;int res;

     while(!isdigit(ch=getc()))

     (ch=='-')&&(flag=true);

     for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*+num);

     (flag)&&(res=-res);

     #undef num

     return res;

 }

 char sr[<<],z[];int C=-,Z;

 inline void Ot(){fwrite(sr,,C+,stdout),C=-;}

 inline void print(int x){

     if(C><<)Ot();if(x<)sr[++C]=,x=-x;

     while(z[++Z]=x%+,x/=);

     while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';

 }

 const int N=;

 int ver[N<<],Next[N<<],head[N],tot=;

 int val[N],fa[N],dep[N],son[N],sz[N],ls[N],rs[N],top[N];

 int n,p,q,cnt,num;

 inline void add(int u,int v){

     ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot;

     ver[++tot]=u,Next[tot]=head[v],head[v]=tot;

 }

 void dfs1(int u){

     sz[u]=,dep[u]=dep[fa[u]]+;

     for(int i=head[u];i;i=Next[i]){

         int v=ver[i];

         if(v!=fa[u]){

             fa[v]=u,dfs1(v),sz[u]+=sz[v];

             if(sz[v]>sz[son[u]]) son[u]=v;

         }

     }

 }

 void dfs2(int u,int t){

     top[u]=t,ls[u]=++num;

     if(son[u]){

         dfs2(son[u],t);

         for(int i=head[u];i;i=Next[i]){

             int v=ver[i];

             if(v!=fa[u]&&v!=son[u]) dfs2(v,v);

         }

     }

     rs[u]=num;

 }

 inline int LCA(int u,int v){

     while(top[u]!=top[v]){

         if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);

         u=fa[top[u]];

     }

     return dep[u]<dep[v]?u:v;

 }

 inline int find(int u,int v){

     while(top[u]!=top[v]){

         if(fa[top[v]]==u) return top[v];

         v=fa[top[v]];

     }

     return son[u];

 }

 int ans[N],sum[N],c[N];

 inline void update(int l,int r,int val){

     for(;l<=n;l+=l&-l) c[l]+=val;

     for(++r;r<=n;r+=r&-r) c[r]-=val;

 }

 inline int query(int x){

     int res=;

     for(;x;x-=x&-x) res+=c[x];

     return res;

 }

 struct plate{int x1,x2,y1,y2,val;}pl[N<<];

 struct fruit{int x,y,k,id;}fr[N],tmp1[N],tmp2[N];

 struct node{int x,y1,y2,val,id;}eve[N*];

 inline bool cmp(const plate &a,const plate &b){return a.val<b.val;}

 inline bool cmp2(const node &a,const node &b){return a.x==b.x?a.id<b.id:a.x<b.x;}

 void solve(int l,int r,int ql,int qr){

     if(ql>qr) return;

     if(l==r){

         for(int i=ql;i<=qr;++i) ans[fr[i].id]=pl[l].val;

         return;

     }

     int a=,b=,mid=l+r>>,tot=;

     for(int i=l;i<=mid;++i)

     eve[++tot]=(node){pl[i].x1,pl[i].y1,pl[i].y2,,},

     eve[++tot]=(node){pl[i].x2,pl[i].y1,pl[i].y2,-,q+};

     for(int i=ql;i<=qr;++i)

     eve[++tot]=(node){fr[i].x,fr[i].y,,,i};

     sort(eve+,eve++tot,cmp2);

     for(int i=;i<=tot;++i)

     if(ql<=eve[i].id&&qr>=eve[i].id) sum[eve[i].id]=query(eve[i].y1);

     else update(eve[i].y1,eve[i].y2,eve[i].val);

     for(int i=ql;i<=qr;++i)

     if(sum[i]>=fr[i].k) tmp1[++a]=fr[i];

     else tmp2[++b]=fr[i],tmp2[b].k-=sum[i];

     for(int i=;i<=a;++i) fr[i+ql-]=tmp1[i];

     for(int i=;i<=b;++i) fr[i+ql+a-]=tmp2[i];

     solve(l,mid,ql,ql+a-),solve(mid+,r,ql+a,qr);

 }

 int main(){

     //freopen("testdata.in","r",stdin);

     n=read(),p=read(),q=read();

     for(int i=;i<n;++i){

         int u=read(),v=read();add(u,v);

     }

     dfs1(),dfs2(,);

     for(int i=;i<=p;++i){

         int u=read(),v=read(),e=read(),lca=LCA(u,v);

         if(ls[u]>ls[v]) u^=v^=u^=v;

         if(u!=lca)

         pl[++cnt]=(plate){ls[u],rs[u],ls[v],rs[v],e};

         else{

             int x=find(u,v);

             if(ls[x]>) pl[++cnt]=(plate){,ls[x]-,ls[v],rs[v],e};

             if(rs[x]<n) pl[++cnt]=(plate){ls[v],rs[v],rs[x]+,n,e};

         }

     }

     for(int i=;i<=q;++i){

         int u=read(),v=read(),e=read();

         if(ls[u]>ls[v]) u^=v^=u^=v;

         fr[i]=(fruit){ls[u],ls[v],e,i};

     }

     sort(pl+,pl++cnt,cmp),solve(,cnt,,q);

     for(int i=;i<=q;++i) print(ans[i]);

     Ot();

     return ;

 }

巴特西

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