[AT697]フィボナッチ

题目大意：给你$n,k(n\leqslant10^9,k\leqslant10^3)$，求$f_n$。$f$数组满足$f_1=f_2=\cdots=f_k=1$，$f_n=\sum\limits_{i=n-k}^{n-1}f_i$

题解：线性齐次递推：
$$
\left[
\begin{matrix}
f_1&f_2&\cdots&f_k
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
0&0&0&\cdots&0&1\\
1&0&0&\cdots&0&1\\
0&1&0&\cdots&0&1\\
0&0&1&\cdots&0&1\\
\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&1&1
\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
f_2&f_3&\cdots&f_{k+1}
\end{matrix}
\right]
$$
特征多项式$G_k(x)$为：
$$
\begin{align*}
G_k(x)&=|\lambda I-A|\\
&=\left|
\left[
\begin{matrix}
\lambda&0&0&\cdots&0&-1\\
-1&\lambda&0&\cdots&0&-1\\
0&-1&\lambda&\cdots&0&-1\\
0&0&-1&\cdots&0&-1\\
\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&-1&\lambda-1
\end{matrix}
\right]\right|
\end{align*}
$$
可以对第一行展开
$$
\begin{align*}
G_k(x)&=(-1)^{1+1}\lambda G_{k-1}(x)+(-1)(-1)^{k-1}(-1)^{k+1}\\
&=\lambda G_{k-1}(x)-1\\
&=\lambda^k-\lambda^{k-1}-\lambda^{k-2}-\cdots-1
\end{align*}
$$
发现模数是$10^9+7$，但是$k$只有$10^3$，所以直接$O(k^2)$卷积和取模，总复杂度$O(k^2\log_2n)$

卡点：无

C++ Code：

#include <algorithm>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#define maxn 2010

const int mod = 1e9 + 7;

#define mul(x, y) static_cast<long long> (x) * (y) % mod

inline void reduce(int &x) { x += x >> 31 & mod; }

int n, K;

int f[maxn], g[maxn];

void PW(int n) {

	if (n == 0) { f[0] = 1; return ; }

	PW(n >> 1);

	std::memset(g, 0, K << 3);

	for (int i = 0; i < K; ++i)

		for (int j = 0; j < K; ++j)

			reduce(g[i + j + (n & 1)] += mul(f[i], f[j]) - mod);

	for (int i = K + K - 1 + (n & 1); i >= K; --i) {

		for (int j = 1; j <= K; ++j) reduce(g[i - j] += g[i] - mod);

	}

	std::memcpy(f, g, K << 2);

}

int main() {

	scanf("%d%d", &K, &n);

	PW(n - 1);

	int ans = 0;

	for (int i = 0; i < K; ++i) reduce(ans += f[i] - mod);

	printf("%d\n", ans);

	return 0;

}

巴特西

[AT697]フィボナッチ

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