费马小定理

最近在上计算机安全学选修课.. 读老师博客..现在当是写阅读笔记吧.

这里贴出老师的简书
建议先看看链接先..毕竟我这些东西只是搞笑一下的..

遵循一下这个原则…

• 观察
• 找规律
• 求证

首先是一段python代码,其实下面的才能直接copy后直接跑(我没学过)

# n是某个正整数

n = 11;

for i in range(1, n):       # i循环从1到n-1

    for j in range(1, n):   # j循环从1到n-1

        print ((i * j) % n),# 输出 (i*j) mod n

    print("\n")

发现打印的结果每一行都是 [1, n-1]的排列, 但是当n == 某个合数时规律消失

却也并非完全消失, 与n互素的行规律仍在, 后话

知道其实i, j是[1, n-1]的循环,打印的就是(ij) mod n
根据老师文章所提示,依式子以及结果,得到2条式子
i1 mod n, i2 mod n, …, i(n-1) mod n [1]
1, 2, 3, 4, …, n-1 [2]
式子[1]与式子[2]中元素各自连乘,得另外两个相等的式子
i^(n-1) (n-1)! mod n [3]
(n-1)! mod n [4]
关键在于知道[3] == [4]后, [6]式如何得来, 即
i^(n-1) (n-1)! ≡ (n-1)! mod n [5]
推导出
i^(n-1) ≡ 1 mod n [6]

首先给出一个定义

设m是大于1的正整数，a、b是整数,如果(a-b)|m，则称a与b关于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a与b对模m同余

我们可以把上面的两个式子简化成
a c ≡ b c mod m [7],
现在证明, 当 c 与 m互素时, 上式可以化简成
a ≡ b mod m

∵ a * c ≡ b * c mod m

∴ m | (a * c - b * c)

∴ m | (a - b) * c

∵ m 与 c 互素

∴ m | (a - b)           // 整除的性质

∴ a ≡ b mod m

上面的证明并不严谨..只是一个思路..(有问题的话恳请指正)

说了这么多..谁和你说 c 和 m 互素了?? 回到[6]式
就是问 (n-1)! 为什么和 n是互素的?
首先我们知道发现规律的n,都是素数(比如代码用的11),..而一个素数与 [1, n-1]的整数都是互素的
就是说
∀i ∈ [1, n-1], 都满足 i ≡ 1 mod n
那么根据同余关系的性质
同余式相乘 若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd (mod m)
可以推得,所有的这些与n互素的元素之积, 亦即(n-1)! ≡ 1 mod n成立

根据[5][6],我们能总结出,对于素数n，取任意大于1小于n-1的整数（此条件并不必要，为什么？），我们有，i^(n-1) ≡ 1 mod n
但是依据上面的证明,显然但凡c和m互素，皆可得到式6。

上述亦即费马小定理
假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p)